Inéquation avec quotients

Méthode

on recherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'inéquation à un sens; c'est à dire qu'on élimine la ou les valeurs de $x$ qui annulent le ou les dénominateurs.
on "passe tous les termes" dans le membre de gauche (il doit rester "0" dans le membre de droite)
on réduit le membre de gauche au même dénominateur
on factorise le numérateur et le dénominateur pour obtenir des facteurs du premier degré
on trace le tableau de signe (voir la fiche : Dresser un tableau de signes)
on regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée.

Bien sûr, il arrive parfois que certaines de ces étapes ne soient pas nécessaires (notamment si l'inéquation est déjà de la forme souhaitée)

Exemple

Résoudre l'inéquation : $\frac{2}{x - 2} \leqslant x - 1$

On recherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'inéquation à un sens

Ici $x - 1$ est toujours défini et $\frac{2}{x - 2}$ est défini si $x - 2\neq 0$ c'est à dire si $x\neq 2$ .

L'inéquation a donc un sens uniquement sur $\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}$
On "passe tous les termes" dans le membre de gauche $\frac{2}{x - 2} \leqslant x - 1 \Leftrightarrow \frac{2}{x - 2} - \left(x - 1\right) \leqslant 0$
On réduit le membre de gauche au même dénominateur

Le dénominateur commun est $x - 2$ :

$\frac{2}{x - 2} - \left(x - 1\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x - 2} - \frac{\left(x - 1\right)\left(x - 2\right)}{x - 2} \leqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{2 - \left(x - 1\right)\left(x - 2\right)}{x - 2} \leqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{ - x^{2}+3x}{x - 2} \leqslant 0$
On factorise le numérateur et le dénominateur

Le dénominateur est du premier degré ; on peut mettre $x$ en facteur au numérateur :

$\frac{ - x^{2}+3x}{x - 2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{x\left( - x+3\right)}{x - 2} \leqslant 0$

$x$ s'annule pour $x=0$ et son coefficient directeur 1 est positif

$- x+3$ s'annule pour $x=3$ et son coefficient directeur -1 est négatif

$x - 2$ s'annule pour $x=2$ et son coefficient directeur 1 est positif

On obtient le tableau de signes suivant :

$Exemple tableau de signes d'un quotient$
On regarde les signes correspondant à l'inégalité demandée

Ici, on veut que $\frac{x\left( - x+3\right)}{x - 2}$ soit négatif ou nul. D'après le tableau de signes, ceci est réalisé lorsque $x\in \left[0;2\right[ \cup \left[3;+\infty \right[$

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