Inéquation et factorisation

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)$

Corrigé

Il faut surtout éviter de développer !

On aboutirait alors à une inéquation du second degré que l'on ne saurait pas résoudre (en Seconde....).

Il faut au contraire factoriser puis dresser un tableau de signes.

$x^2 - 9$ se factorise à l'aide de l'identité remarquable : $a^2 - b^2=(a - b)(a+b)$ :

$x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7) \Leftrightarrow (x - 3)(x+3) \geqslant (x - 3)(3x+7)$

On "fait passer" le membre de droite dans le membre de gauche en soustrayant :

$\phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)(x+3) - (x - 3)(3x+7)\geqslant 0$

Enfin on met $x - 3$ en facteur :

$\phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)\left[(x+3) - (3x+7)\right]\geqslant 0$

$\phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)\left(x+3 - 3x - 7\right)\geqslant 0$

$\phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)( - 2x - 4)\geqslant 0$

On étudie ensuite le signe de chacun des facteurs :

$x - 3=0 \Leftrightarrow x=3$ et comme le coefficient directeur (égal à $1$ ) est strictement positif, $x - 3$ est négatif pour $x < 3$ et positif pour $x > 3$ .
$- 2x - 4=0 \Leftrightarrow x=\frac{4}{ - 2} \Leftrightarrow x= - 2$ et comme le coefficient directeur (égal à $- 2$ ) est strictement négatif, $- 2x - 4$ est positif pour $x < - 2$ et négatif pour $x > - 2$ .

On obtient alors le tableau de signes ci-dessous :

$Exemple tableau de signes d'un produit$

$(x - 3)( - 2x - 4)$ est positif ou nul lorsque $x$ est compris (au sens large) entre $- 2$ et $3$ .

L'ensemble des solutions est donc $S= [ - 2 ; 3]$ .

L'intervalle est fermé car l'égalité est "large" ( $\geqslant$ ).