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Seconde

Cours

Equations et inéquations

I. Equations

Théorème

  • Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une équation, on obtient une équation équivalente (c'est à dire qui possède les mêmes solutions).

  • Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente.

Remarque

Pour résoudre une équation du type ax+b=0ax+b=0ax+b=0 on soustrait bbb à chaque membre de l'égalité:

ax+b−b=0−bax+b - b=0 - bax+b−b=0−b c'est à dire ax=−bax= - bax=−b.

Puis:

  • si aaa est non nul on divise chaque membre par aaa : axa=−ba\frac{ax}{a}= - \frac{b}{a}​a​​ax​​=−​a​​b​​ soit x=−bax= - \frac{b}{a}x=−​a​​b​​ donc S={−ba}S=\left\{ - \frac{b}{a}\right\}S={−​a​​b​​}

  • si a=0a=0a=0:

    • si b=0b=0b=0 l'équation se réduit à 0=00=00=0. Elle est toujours vérifiée donc S=RS=\mathbb{R}S=R

    • si b≠0b\neq 0b≠0 l'équation se réduit à b=0b=0b=0. Elle n'est jamais vérifiée donc S=∅S=\varnothingS=∅

Théorème (Équation produit)

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

En particulier, une équation du type A(x)×B(x)=0A(x)\times B(x)=0A(x)×B(x)=0 est vérifiée si et seulement si :

A(x)=0A(x)=0A(x)=0 ou B(x)=0B(x)=0B(x)=0

Exemple

Soit l'équation (3x−5)(x+2)=0(3x - 5)(x+2)=0(3x−5)(x+2)=0

Cette équation est équivalente à 3x−5=03x - 5=03x−5=0 ou x+2=0x+2=0x+2=0.

C'est à dire x=53x=\frac{5}{3}x=​3​​5​​ ou x=−2x= - 2x=−2.

L'ensemble des solutions de l'équation est donc S={−2;53}S=\left\{ - 2;\frac{5}{3}\right\}S={−2;​3​​5​​}

Remarques

  • Lorsqu'on a affaire à une équation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser et on utilise le théorème précédent.

  • On rappelle les identités remarquables qui peuvent être utiles dans ce genre de situations:

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)​2​​=a​2​​+2ab+b​2​​

    (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2(a−b)​2​​=a​2​​−2ab+b​2​​

    (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a - b)=a^2 - b^2(a+b)(a−b)=a​2​​−b​2​​

Théorème

Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non nul.

S'il est défini, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.

Exemple

Soit l'équation 2x−4x+1=0\frac{2x - 4}{x+1}=0​x+1​​2x−4​​=0

Cette équation a un sens si x+1≠0x+1 \neq 0x+1≠0 donc si x≠−1x\neq - 1x≠−1

Sur l'ensemble R\{−1}\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\}R\{−1} cette équation est équivalente à 2x−4=02x - 4=02x−4=0 donc à x=2x=2x=2. L'ensemble des solutions de l'équation est donc S={2}S=\left\{2\right\}S={2}

Propriété

Soit fff une fonction définie sur DDD de courbe représentative Cf\mathscr{C}_fC​f​​.

Les solutions de l'équation f(x)=mf(x)=mf(x)=m sont les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf\mathscr{C}_fC​f​​ et de la droite horizontale d'équation y=my=my=m

Exemple

équation et graphique

Sur la figure ci-dessus, l'équation f(x)=2f(x)=2f(x)=2 possède deux solutions qui sont -1 et 3

Théorème

L'équation x2=ax^2=ax​2​​=a :

  • admet deux solutions x=ax=\sqrt{a}x=√​a​​​ ou x=−ax= - \sqrt{a}x=−√​a​​​ si a>0a > 0a>0

  • admet une unique solution x=0x=0x=0 si a=0a=0a=0

  • n'admet aucune solution réelle si a<0a < 0a<0

Exemple

  • L'équation x2=1x^2=1x​2​​=1 admet deux solutions qui sont x=−1x= - 1x=−1 et x=1x=1x=1

  • L'équation x2+1=0x^2+1=0x​2​​+1=0 est équivalente à x2=−1x^2= - 1x​2​​=−1 et n'admet donc aucune solution

II. Inéquations

Théorème

  • Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente (c'est à dire qui à les mêmes solutions).

  • Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement positif, on obtient une inéquation équivalente.

  • Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement négatif, on obtient une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité.

Exemple

Pour résoudre l'inéquation −3x+5>0 - 3x+5 > 0−3x+5>0 on soustrait 5 à chaque membre de l'inéquation:

−3x+5−5>0−5 - 3x+5 - 5 > 0 - 5−3x+5−5>0−5 c'est à dire −3x>−5 - 3x > - 5−3x>−5.

Puis comme -3 est négatif on divise chaque membre par -3 en changeant le sens de l'inégalité :

−3x−3<−5−3\frac{ - 3x}{ - 3} < \frac{ - 5}{ - 3}​−3​​−3x​​<​−3​​−5​​

x<53x < \frac{5}{3}x<​3​​5​​

Donc S=]−∞;53[S=\left] - \infty ;\frac{5}{3}\right[S=]−∞;​3​​5​​[

Remarques

En appliquant le théorème précédent à l'expression ax+bax+bax+b on obtient :

ax+b>0⇔ax>−b⇔x>−baax+b > 0 \Leftrightarrow ax > - b \Leftrightarrow x > - \frac{b}{a}ax+b>0⇔ax>−b⇔x>−​a​​b​​ si aaa est strictement positif

et ax+b>0⇔ax>−b⇔x<−baax+b > 0 \Leftrightarrow ax > - b \Leftrightarrow x < - \frac{b}{a}ax+b>0⇔ax>−b⇔x<−​a​​b​​ si aaa est strictement négatif.

On peut alors regrouper ces deux cas dans le tableau de signe suivant :

Tableau de signe polynôme du premier degré

Théorème (Inéquation produit)

Un produit de facteurs A(x)B(x)A(x)B(x)A(x)B(x) est positif ou nul si et seulement si les deux facteurs A(x)A(x)A(x) et B(x)B(x)B(x) sont de même signe.

Ce produit est négatif ou nul si et seulement si les deux facteurs A(x)A(x)A(x) et B(x)B(x)B(x) sont de signes contraires.

Remarques

Lorsqu'on a affaire à une inéquation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser puis on utilise un tableau de signe.

Exemple

Soit l'inéquation (x−5)(−3x+4)⩾0(x - 5)( - 3x+4)\geqslant 0(x−5)(−3x+4)⩾0

Le signe de x−5x - 5x−5 est donné par le tableau:

Exemple tableau de signe 1

Le signe de −3x+4 - 3x+4−3x+4 est donné par le tableau:

Exemple tableau de signe 2

On regroupe ces résultats dans un unique tableau et on utilise la règle des signes pour obtenir le signe du produit:

Exemple tableau de signes d'un produit

(x−5)(−3x+4)(x - 5)( - 3x+4)(x−5)(−3x+4) est positif ou nul sur l'intervalle [43;5]\left[\frac{4}{3}; 5\right][​3​​4​​;5]

Pour plus de détails et d'autres exemples, consulter la fiche méthode : Dresser un tableau de signes

Théorème (Inéquation quotient)

Un quotient A(x)B(x)\frac{A(x)}{B(x)}​B(x)​​A(x)​​ est défini si et seulement si son dénominateur B(x)B(x)B(x) est non nul.

S'il est défini, il est positif ou nul si et seulement si A(x)A(x)A(x) et B(x)B(x)B(x) sont de même signe et il est négatif ou nul si et seulement si les deux facteurs A(x)A(x)A(x) et B(x)B(x)B(x) sont de signes contraires.

Exemple

Soit l'inéquation 2x−5x+2⩾0\frac{2x - 5}{x+2}\geqslant 0​x+2​​2x−5​​⩾0

Cette inéquation a un sens si x+2≠0x+2 \neq 0x+2≠0 donc si x≠−2x\neq - 2x≠−2

Le tableau de signe de 2x−5x+2\frac{2x - 5}{x+2}​x+2​​2x−5​​ est :

Exemple tableau de signes d'un quotient

2x−5x+2\frac{2x - 5}{x+2}​x+2​​2x−5​​ est positif ou nul sur l'ensemble ]−∞;−2[∪[52;+∞[\left] - \infty ; - 2\right[ \cup \left[\frac{5}{2}; +\infty \right[]−∞;−2[∪[​2​​5​​;+∞[

Propriété

Soit fff une fonction définie sur DDD de courbe représentative Cf\mathscr{C}_fC​f​​ et mmm un nombre réel.

  • Les solutions de l'inéquation f(x)⩽mf(x)\leqslant mf(x)⩽m sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C}_fC​f​​ situés au dessous de la droite horizontale d'équation y=my=my=m(On inclut les points d'intersection si l'inégalité est large, on les exclut si l'inégalité est stricte.)

  • De même, les solutions de l'inéquation f(x)⩾mf(x)\geqslant mf(x)⩾m sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C}_fC​f​​ situés au dessus de droite horizontale d'équation y=my=my=m

Exemple

inéquation et graphique

Sur la figure ci-dessus, l'inéquation f(x)⩽mf(x) \leqslant mf(x)⩽m a pour solution l'intervalle [x1;x2]\left[x_1;x_2\right][x​1​​;x​2​​]

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Méthodes

  • Dresser un tableau de signes (en Seconde)
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