Inéquations - Tableau de signes

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\}$ par :

$f\left(x\right)=\frac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+1$

Corrigé

On réduit au même dénominateur :

$f\left(x\right)=\frac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+1=\frac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}=\frac{4x^{2} - 1}{x+1}$
On peut factoriser le numérateur qui est une identité remarquable du type $a^2 - b^2=(a - b)(a+b)$

$f\left(x\right)=\frac{\left(2x - 1\right)\left(2x+1\right)}{x+1}$

On obtient le tableau de signes suivant :

$Exemple tableau de signes d'un quotient$
$\frac{4x^{2} - x - 2}{x+1} > - 1 \Leftrightarrow \frac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+1 > 0 \Leftrightarrow f\left(x\right) > 0$

On lit l'ensemble des solutions sur le tableau précédent:

$S=\left] - 1; - \frac{1}{2}\right[ \cup \left]\frac{1}{2}; +\infty \right[$