Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation
Méthode
Dans cette fiche, on cherchera à déterminer si une équation du type :
x2+y2+ax+by+c=0
correspond à l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, à déterminer les coordonnées du centre et du rayon de ce cercle.
On utilisera, pour cela, le résultat suivant :
Rappel
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗).
Soit Ω(α;β) un point quelconque du plan et r un réel positif.
Une équation du cercle de centre Ω et de rayon r est :
(x−α)2+(y−β)2=r2
L'objectif sera donc de chercher si l'équation x2+y2+ax+by+c=0 peut s'écrire sous la forme (x−α)2+(y−β)2=r2.
En pratique, pour déterminer si l'ensemble cherché est un cercle et déterminer les éléments caractéristiques de ce cercle, on procède de la manière suivante :
on regroupe les termes en x et les termes en y
on fait apparaître des carrés de la forme (x−α)2 et (y−β)2 en utilisant des identités remarquables
On écrit l'équation sous la forme (x−α)2+(y−β)2=γ ;
À partir de cette équation :
si γ>0 , l'ensemble cherché est un cercle de centre Ω(α;β) et de rayon r=√γ .
si γ=0 , l'ensemble cherché est le point Ω(α;β)
si γ<0 , l'ensemble cherché est l'ensemble vide.
Exemple 1
Énoncé
Déterminer l'ensemble des points M tels que :
x2+y2+2x−4y=0
En regroupant les termes en x et les termes en y on obtient :
x2+2x+y2−4y=0
x2+2x est le début de l'identité remarquable : x2+2x+1=(x+1)2.
Donc x2+2x=(x+1)2−1
De la même manière, y2−4y est le début de l'identité remarquable : y2−4y+4=(y−2)2
Donc y2−4y=(y−2)2−4
En utilisant les résultats précédents, l'équation de départ peut s'écrire sous la forme :
(x+1)2−1+(y−2)2−4=0
C'est-à-dire :
(x+1)2+(y−2)2=5
(x−(−1))2+(y−2)2=(√5)2
L'ensemble des points M cherché est donc le cercle de centre Ω(−1 ; 2) et de rayon √5.
Remarque : Ce cercle passe par l'origine du repère puisque l'équation est vérifiée pour x=0 et y=0.
Exemple 2
Énoncé
Quel est l'ensemble des points M(x;y) dont les coordonnées vérifient :
x2+y2+x−3y+7=0?
On commence par regrouper les termes en x et les termes en y :
x2+x+y2−3y+7=0
x2+x est le début de l'identité remarquable : x2+x+41=(x+21)2
Donc x2+x=(x+21)2−41
y2−3y est le début de l'identité remarquable : y2−3y+49=(y−23)2
Ce qui donne : y2−3y=(y−23)2−49
Finalement, notre équation peut s'écrire :
(x+21)2−41+(y−23)2−49+7=0
Ou encore :
(x+21)2+(y−23)2=−29
La somme de deux carrés ne peut jamais être strictement négative ; par conséquent, l'équation n'admet aucun couple solution.
L'ensemble cherché est donc l'ensemble vide.
Exemple 3
Énoncé
L'équation :
x2+y2−6x+2y+10=0
est-elle l'équation d'un cercle ?
Là encore, la première étape consiste à regrouper les termes en x et les termes en y :
x2−6x+y2+2y+10=0
Ensuite, on recherche le début d'identités remarquables :
x2−6x est le début de : x2−6x+9=(x−3)2
Donc x2−6x=(x−3)2−9
De même, pour les termes en y :
y2+2y est le début de l'identité remarquable : y2+2y+1=(y+1)2
Ce qui donne : y2+y=(y+1)2−1
L'équation de départ peut alors s'écrire :
(x−3)2−9+(y+1)2−1+10=0
Soit :
(x−3)2+(y+1)2=0
La somme de deux carrés et nulle si et seulement si chacun de ces carrés est nul, c'est-à-dire si et seulement si :
x−3=0 et y+1=0.
L'équation proposée admet donc un unique couple solution qui est (3 ; −1).
L'ensemble d'équation x2+y2−6x+2y+10=0 est donc réduit au point de coordonnées (3 ; −1).