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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation

Méthode

Dans cette fiche, on cherchera à déterminer si une équation du type :

x2+y2+ax+by+c=0 x^2 +y^2 +ax+by+c=0

correspond à l'équation d'un cercle et, si c'est le cas, à déterminer les coordonnées du centre et du rayon de ce cercle.

On utilisera, pour cela, le résultat suivant :

Rappel

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j)\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit Ω(α;β) \Omega ( \alpha ; \beta) un point quelconque du plan et rr un réel positif.

Une équation du cercle de centre Ω \Omega et de rayon rr est :

(xα)2+(yβ)2=r2 \left(x - \alpha \right)^{2}+\left(y - \beta \right)^{2}=r^{2}

L'objectif sera donc de chercher si l'équation x2+y2+ax+by+c=0x^2 +y^2 +ax+by+c=0 peut s'écrire sous la forme (xα)2+(yβ)2=r2\left(x - \alpha \right)^{2}+\left(y - \beta \right)^{2}=r^{2}.

En pratique, pour déterminer si l'ensemble cherché est un cercle et déterminer les éléments caractéristiques de ce cercle, on procède de la manière suivante :

  1. on regroupe les termes en xx et les termes en yy

  2. on fait apparaître des carrés de la forme (xα)2(x - \alpha )^2 et (yβ)2(y - \beta )^2 en utilisant des identités remarquables

  3. On écrit l'équation sous la forme (xα)2+(yβ)2=γ(x - \alpha )^2 +(y - \beta )^2 = \gamma ;
    À partir de cette équation :

    • si γ>0 \gamma >0 , l'ensemble cherché est un cercle de centre Ω(α;β) \Omega ( \alpha ; \beta ) et de rayon r=γr=\sqrt{ \gamma } .

    • si γ=0 \gamma =0 , l'ensemble cherché est le point Ω(α;β) \Omega ( \alpha ; \beta )

    • si γ<0 \gamma <0 , l'ensemble cherché est l'ensemble vide.

Exemple 1

Énoncé

Déterminer l'ensemble des points MM tels que :

x2+y2+2x4y=0 x^2 +y^2 +2x - 4y=0

  1. En regroupant les termes en xx et les termes en yy on obtient :
    x2+2x+y24y=0x^2 +2x+ y^2 - 4y=0

  2. x2+2xx^2 +2x est le début de l'identité remarquable : x2+2x+1=(x+1)2.x^2 +2x+1=(x+1)^2.
    Donc x2+2x=(x+1)21x^2 +2x=(x+1)^2 - 1

    De la même manière, y24yy^2 - 4y est le début de l'identité remarquable : y24y+4=(y2)2y^2 - 4y+4=(y - 2)^2
    Donc y24y=(y2)24y^2 - 4y=(y - 2)^2 - 4

  3. En utilisant les résultats précédents, l'équation de départ peut s'écrire sous la forme :
    (x+1)21+(y2)24=0(x+1)^2 - 1+(y - 2)^2 - 4=0

    C'est-à-dire :
    (x+1)2+(y2)2=5(x+1)^2+(y - 2)^2 =5
    (x(1))2+(y2)2=(5)2(x - ( - 1))^2+(y - 2)^2 =\left(\sqrt{5}\right)^2

    L'ensemble des points MM cherché est donc le cercle de centre Ω(1 ; 2) \Omega ( - 1~;~2) et de rayon 5.\sqrt{5}.

    cercle de centre Omega

    Remarque : Ce cercle passe par l'origine du repère puisque l'équation est vérifiée pour x=0x=0 et y=0.y=0.

Exemple 2

Énoncé

Quel est l'ensemble des points M(x;y)M( x ; y ) dont les coordonnées vérifient :

x2+y2+x3y+7=0? x^2 +y^2 +x - 3y+7=0 \quad ?

  1. On commence par regrouper les termes en xx et les termes en yy :
    x2+x+y23y+7=0x^2 +x+ y^2 - 3y + 7=0

  2. x2+xx^2 +x est le début de l'identité remarquable : x2+x+14=(x+12)2x^2 +x+\frac{ 1 }{ 4 }=\left(x+\frac{ 1 }{ 2 }\right)^2
    Donc x2+x=(x+12)214x^2 +x=\left(x+\frac{ 1 }{ 2 }\right)^2 - \frac{ 1 }{ 4 }

    y23yy^2 - 3y est le début de l'identité remarquable : y23y+94=(y32)2y^2 - 3y+\frac{ 9 }{ 4 }=\left(y - \frac{ 3 }{ 2 }\right)^2
    Ce qui donne : y23y=(y32)294y^2 - 3y=\left(y - \frac{ 3 }{ 2 }\right)^2 - \frac{ 9 }{ 4 }

  3. Finalement, notre équation peut s'écrire :
    (x+12)214+(y32)294+7=0\left(x+\frac{ 1 }{ 2 }\right)^2 - \frac{ 1 }{ 4 } +\left(y - \frac{ 3 }{ 2 }\right)^2 - \frac{ 9 }{ 4 } + 7 =0

    Ou encore :
    (x+12)2+(y32)2=92\left(x+\frac{ 1 }{ 2 }\right)^2 + \left(y - \frac{ 3 }{ 2 }\right)^2 = - \frac{ 9 }{ 2 }

    La somme de deux carrés ne peut jamais être strictement négative ; par conséquent, l'équation n'admet aucun couple solution.

    L'ensemble cherché est donc l'ensemble vide.

Exemple 3

Énoncé

L'équation :

x2+y26x+2y+10=0 x^2 +y^2 - 6x +2y+10=0

est-elle l'équation d'un cercle ?

  1. Là encore, la première étape consiste à regrouper les termes en xx et les termes en yy :
    x26x+y2+2y+10=0x^2 - 6x+ y^2 +2y + 10=0

  2. Ensuite, on recherche le début d'identités remarquables : x26xx^2 - 6x est le début de : x26x+9=(x3)2x^2 - 6x+9=\left(x - 3\right)^2
    Donc x26x=(x3)29x^2 - 6x=\left(x - 3\right)^2 - 9

    De même, pour les termes en yy : y2+2yy^2 +2y est le début de l'identité remarquable : y2+2y+1=(y+1)2y^2 +2y+1=\left(y+1\right)^2
    Ce qui donne : y2+y=(y+1)21y^2 +y=\left(y +1\right)^2 - 1

  3. L'équation de départ peut alors s'écrire :
    (x3)29+(y+1)21+10=0\left(x - 3\right)^2 - 9+\left(y +1\right)^2 - 1 + 10 =0

    Soit :
    (x3)2+(y+1)2=0\left(x - 3\right)^2+\left(y +1\right)^2 =0

    La somme de deux carrés et nulle si et seulement si chacun de ces carrés est nul, c'est-à-dire si et seulement si :
    x3=0x - 3=0 et y+1=0.y+1=0.

    L'équation proposée admet donc un unique couple solution qui est (3 ; 1).\left( 3~;~ - 1 \right).

    L'ensemble d'équation x2+y26x+2y+10=0x^2 +y^2 - 6x +2y+10=0 est donc réduit au point de coordonnées (3 ; 1).\left( 3~;~ - 1 \right).