Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Produit scalaire et quadrillage. Calcul d'angle.

Dans cet exercice, l'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.

Produit scalaire et quadrillage - 1

  1. À l'aide du quadrillage, calculez le produit scalaire CBCA \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} puis les normes CB\left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert et CA\left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert .

  2. En déduire la valeur exacte de cos(CB;CA) \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) .
    Donner la valeur arrondie au degré de l'angle (CB;CA) \left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) .

Corrigé

  1. Tout d'abord, traçons le projeté orthogonal HH du point AA sur la droite (CB)(CB)  :

    Produit scalaire et quadrillage - 2

    Comme l'angle (CB;CA)\left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) est un angle aigu :

    CBCA=CB×CH\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =CB \times CH
    CBCA=6×4=24.\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =6 \times 4=24.

    Par ailleurs, on a immédiatement :

    CB=CB=6.\left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert =CB=6.

    Pour calculer la longueur du segment [CA][CA] , on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AHCAHC rectangle en HH :

    AC2=CH2+HA2=42+32AC{}^2 =CH{}^2 +HA{}^2 =4{}^2 +3{}^2
    AC2=16+9=25\phantom{AC{}^2 }=16+9=25

    Donc :
    CA=AC=25=5 \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert =AC=\sqrt{25} = 5

  2. Pour calculer la valeur de cos(CB;CA) \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) , on utilise la formule donnant le produit scalaire à l'aide du cosinus :

    CBCA=CB×CA×cos(CB;CA)\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert \times \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)

    On en déduit :

    cos(CB;CA)=CBCACB×CA\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) = \frac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} }{ \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert }

    cos(CB;CA)=246×5=0,8.\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) =\frac{24}{6 \times 5} =0,8.

    À la calculatrice (touche « cos1\cos{}^{ - 1} » ou « Arccos » ), on trouve que l'angle (CB;CA)\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) vaut approximativement 37° au degré près.

    Remarque : il était aussi possible et plus simple, ici, de calculer une valeur approchée de l'angle (CB;CA)\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) à l'aide des formules trigonométriques vues en classe de troisième dans le triangle rectangle AHCAHC.