Produit scalaire et quadrillage. Calcul d'angle.
Dans cet exercice, l'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.
À l'aide du quadrillage, calculez le produit scalaire CB⋅CA puis les normes
∥∥∥CB∥∥∥ et ∥∥∥CA∥∥∥ .
En déduire la valeur exacte de cos(CB;CA) .
Donner la valeur arrondie au degré de l'angle (CB;CA) .
Tout d'abord, traçons le projeté orthogonal H du point A sur la droite (CB) :
Comme l'angle (CB;CA) est un angle aigu :
CB⋅CA=CB×CH
CB⋅CA=6×4=24.
Par ailleurs, on a immédiatement :
∥∥∥CB∥∥∥=CB=6.
Pour calculer la longueur du segment [CA], on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H :
AC2=CH2+HA2=42+32
AC2=16+9=25
Donc :
∥∥∥CA∥∥∥=AC=√25=5
Pour calculer la valeur de cos(CB;CA), on utilise la formule donnant le produit scalaire à l'aide du cosinus :
CB⋅CA=∥∥∥CB∥∥∥×∥∥∥CA∥∥∥×cos(CB;CA)
On en déduit :
cos(CB;CA)=∥∥∥CB∥∥∥×∥∥∥CA∥∥∥CB⋅CA
cos(CB;CA)=6×524=0,8.
À la calculatrice (touche « cos−1 » ou « Arccos » ), on trouve que l'angle (CB;CA) vaut approximativement 37° au degré près.
Remarque : il était aussi possible et plus simple, ici, de calculer une valeur approchée de l'angle (CB;CA) à l'aide des formules trigonométriques vues en classe de troisième dans le triangle rectangle AHC.