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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Produit scalaire

1. Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.

On appelle produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} le nombre réel noté u⃗.v⃗\vec{u}.\vec{v} défini par :

u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos(u⃗,v⃗)\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarques

  • Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !

  • On rappelle que ∣∣AB→∣∣||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur AB→\overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment ABAB.

  • Si l'un des vecteurs u⃗\vec{u} ou v⃗\vec{v} est nul, cos(u⃗,v⃗)\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n'est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire u⃗.v⃗\vec{u}.\vec{v} vaut 00

  • Le cosinus d'un angle étant égal au cosinus de l'angle opposé : cos(u⃗,v⃗)=cos(v⃗,u⃗)\cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent u⃗.v⃗=v⃗.u⃗\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

Exemple

Triangle équilatéral

ABCABC est un triangle équilatéral dont le côté mesure 11 unité.

AB→.AC→=AB×AC×cos(AB→,AC→)=1×1×cosπ3=12\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}

Propriété

Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : u⃗.v⃗=0\vec{u}.\vec{v}=0

Démonstration

Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

u⃗.v⃗=0⇔∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos(u⃗,v⃗)=0⇔cos(u⃗,v⃗)=0⇔u⃗\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux

Propriété

Pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel kk :

  • (ku⃗).v⃗=k(u⃗.v⃗)\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)

  • u⃗.(v⃗+w⃗)=u⃗.v⃗+u⃗.w⃗\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Définition et propriété

Soit u⃗\vec{u} un vecteur du plan. Le carré scalaire de u⃗\vec{u} est le réel positif ou nul :

u⃗2=u⃗.u⃗=∣∣u⃗∣∣2\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

Démonstration

Le cosinus d'un angle nul vaut 11 donc cos(u⃗,u⃗)=1\cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :

u⃗.u⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣u⃗∣∣×cos(u⃗,u⃗)=∣∣u⃗∣∣2\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}

Théorème

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} :

u⃗.v⃗=12(∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2)\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}\right)

Démonstration

∣∣u⃗+v⃗∣∣2=(u⃗+v⃗)2=u⃗2+2(u⃗.v⃗)+v⃗2=∣∣u⃗∣∣2+2(u⃗.v⃗)+∣∣v⃗∣∣2||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}

Par conséquent :

∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2=2(u⃗.v⃗)||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)

et l'on obtient l'égalité souhaitée en divisant chaque membre par 22.

Remarque

De la même manière, en développant (u⃗−v⃗)2(\vec{u} - \vec{v})^{2} on obtient :

u⃗.v⃗=12(∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2−∣∣u⃗−v⃗∣∣2)\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2} - ||\vec{u} - \vec{v}||^{2}\right)

Exemple

Triangle équilatéral

ABCDABCD est un parallélogramme tel que AB=6AB=6, AC=4AC=4 et BC=5BC=5.
On souhaite calculer AB→.AD→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

AB→.AD→=12(∣∣AB→+AD→∣∣2−∣∣AB→∣∣2−∣∣AD→∣∣2)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2} - ||\overrightarrow{AB}||^{2} - ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)

Or AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d'après la relation de Chasles. Par conséquent :

AB→.AD→=12(∣∣AC→∣∣2−∣∣AB→∣∣2−∣∣AD→∣∣2)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2} - ||\overrightarrow{AB}||^{2} - ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
AB.AD=12(AC2−AB2−AD2)\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2} - AB^{2} - AD^{2}\right)
AB.AD=12(16−36−25)=−452\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16 - 36 - 25\right)= - \frac{45}{2}

Théorème

Soient A,B,CA, B, C trois points du plan et HH la projection orthogonale de CC sur la droite (AB)\left(AB\right)

Alors :

  • AB→.AC→=AB×AH\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle BAC^\widehat{BAC} est aigu

  • AB→.AC→=−AB×AH\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= - AB\times AH si l'angle BAC^\widehat{BAC} est obtus

Produit scalaire et projection orthogonale

Ici : AB→.AC→=AB×AH\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH

Exemple

Produit scalaire et projection orthogonale

Sur la figure ci-dessus où l'unité est le carreau, le point CC se projette orthogonalement sur la droite (AB)\left(AB\right) en un point HH (non représenté) tel que AH=2AH=2.

Par conséquent, l'angle BAC^\widehat{BAC} étant aigu :

AB→.AC→=AB×AH=3×2=6\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6

Théorème

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient u⃗(x;y)\vec{u}\left(x; y\right) et v⃗(x′,y′)\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :

u⃗.v⃗=xx′+yy′\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Démonstration

Dire que u⃗\vec{u} a pour coordonnées (x;y)\left(x ; y\right) signifie que u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}

u⃗.v⃗=(xi⃗+yj⃗).(x′i⃗+y′j⃗)=xx′i⃗2+xy′i⃗.j⃗+x′yi⃗.j⃗+yy′j⃗2\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}

Or, comme le repère (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, i⃗2=∣∣i⃗∣∣2=1\vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, j⃗2=∣∣j⃗∣∣2=1\vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et i⃗.j⃗=0\vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :

u⃗.v⃗=xx′+yy′\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

2. Applications du produit scalaire

Théorème (de la médiane)

Soient ABCABC un triangle quelconque et II le milieu de [BC]\left[BC\right]. Alors :

AB2+AC2=2AI2+BC22AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}

Théorème de la médiane

Médiane dans un triangle

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane

Propriété (Formule d'Al Kashi)

Soit ABCABC un triangle quelconque :

BC2=AB2+AC2−2AB×ACcos(AB→,AC→)BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Remarque

  • La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d'Al Kashi

  • Si le triangle ABCABC est rectangle en AA alors cos(AB→,AC→)=0\cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.

Définition (Vecteur normal à une droite)

On dit qu'un vecteur n⃗\vec{n} non nul est normal à la droite dd si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de dd.

Vecteur normal à une droite

Vecteur n⃗\vec{n} normal à la droite dd

Théorème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)

La droite dd de vecteur normal n⃗(a;b)\vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+c=0ax+by+c=0

où aa, bb sont les coordonnées de n⃗\vec{n} et cc un nombre réel.

Réciproquement, l'ensemble des points M(x;y)M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0ax+by+c=0 (a,b,ca, b, c étant des réels avec a≠0a\neq 0 ou b≠0b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est n⃗(a;b)\vec{n}\left(a ; b\right).

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite

Théorème (équation cartésienne d'un cercle)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit I(xI;yI)I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et rr un réel positif.

Une équation du cercle de centre II et de rayon rr est :

(x−xI)2+(y−yI)2=r2\left(x - x_{I}\right)^{2}+\left(y - y_{I}\right)^{2}=r^{2}

Démonstration

Le point M(x;y)M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=rIM=r. Comme IMIM et rr sont positif cela équivaut à IM2=r2IM^{2}=r^{2}. Or IM2=(x−xI)2+(y−yI)2IM^{2}= \left(x - x_{I}\right)^{2}+\left(y - y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.

Exemple

Le cercle de centre Ω(3;4)\Omega \left(3;4\right) et de rayon 55 a pour équation :

(x−3)2+(y−4)2=25\left(x - 3\right)^{2}+\left(y - 4\right)^{2}=25

x2−6x+9+y2−8y+16=25x^{2} - 6x+9+y^{2} - 8y+16=25

x2−6x+y2−8y=0x^{2} - 6x+y^{2} - 8y=0

Ce cercle passe par OO car on obtient une égalité juste en remplaçant xx et yy par 00.

Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)

Dans ce chapitre :

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