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5 méthodes pour calculer un produit scalaire

Propriété

Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques.

Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire :

  1. Utiliser une projection orthogonale,

  2. Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle,

  3. Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs,

  4. Se placer dans un repère orthonormé,

  5. Utiliser la relation de Chasles.

1. Utiliser une projection orthogonale

Pour calculer le produit scalaire AB→⋅AC→ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point CC sur la droite (AB)(AB) .
Notons HH ce projeté orthogonal :

produit scalaire - projection orthogonale

On utilise alors le théorème suivant (voir cours) :

Théorème

Soient A,B,CA, B, C trois points du plan et si HH est la projection orthogonale de CC sur la droite (AB).\left(AB\right).

Alors :

  • AB→⋅AC→=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle BAC^\widehat{BAC} est aigu

  • AB→⋅AC→=−AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= - AB\times AH si l'angle BAC^\widehat{BAC} est obtus

Remarque

  • Dire que l'angle BAC^\widehat{BAC} est aigu revient à dire que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} ont le même sens.

  • Dire que l'angle BAC^\widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} ont des sens opposés.

Exemple

Sur la figure ci-dessous, ABCDABCD est un carré de côté 4 unités et II et le milieu du segment [AB][AB].
On cherche à calculer la valeur du produit scalaire IB→⋅ID→\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} .

produit scalaire - exemple de projection orthogonale

La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale AA du point DD sur la droite (IB).(IB).

L'angle DIB^ \widehat{DIB} est ici un angle obtus.
Les segments IBIB et AIAI mesure chacun 2 unités.
On a donc :

IB→⋅ID→=−IB×IA\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= - IB \times IA
IB→⋅ID→=−2×2=−4\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= - 2 \times 2= - 4

2. Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle

Produit scalaire à partir de la mesure d'un angle

Si l'on connaît l'angle BAC^ \widehat{BAC}, on peut calculer le produit scalaire AB→⋅AC→ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en utilisant les longueurs ABAB et ACAC ainsi que le cosinus de l'angle BAC^ \widehat{BAC}(Voir Définition du produit scalaire.)

Définition

Le produit scalaire de AB→ \overrightarrow{AB} et AC→ \overrightarrow{AC} est le nombre réel noté AB→⋅AC→ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} défini par :

AB→⋅AC→=AB×AC×cos(AB→;AC→)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB \times AC \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right)

Remarque

Le sens de l'angle n'a pas d'importance dans cette formule puisque pour tout angle θ :\theta \ : cosθ=cos(−θ).\cos \theta =\cos( - \theta ).
On peut donc aussi bien utiliser des angles orientés ( comme (AB→;AC→) \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right) ) que des angles géométriques ( comme BAC^ \widehat{BAC} ).

Exemple

Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10−210{}^{ - 2} près du produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} .

Calcul du produit scalaire à partir du cosinus

Bien sûr, on utilise la définition du produit scalaire à l'aide des angles puisqu'ici on connaît l'angle BAC^ \widehat{BAC} .

AB→⋅AC→=AB×AC×cosBAC^\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}
AB→⋅AC→=12×6×cos(50°)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree)
AB→⋅AC→≈12×6×0,643≈46,28.\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28.

3. Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs

Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) :

Théorème

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} :

u⃗⋅v⃗=12(∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2)\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}\right)

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\left\Vert \vec{u}\right\Vert{}^2 +\left\Vert \vec{v}\right\Vert{}^2 - \left\Vert \vec{u} - \vec{v}\right\Vert{}^2 \right)

Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous :

Exemple

Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} .

Produit scalaire connaissant trois longueurs

Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles :

BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}

On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent :

AB→⋅AC→=12(∣∣AB→∣∣2+∣∣AC→∣∣2−∣∣BC→∣∣2)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 - ||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right)
AB→⋅AC→=12(92+62−82)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 - 8{}^2 \right)
AB→⋅AC→=12×53=26,5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5

4. Se placer dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, il est facile de calculer le produit scalaire des vecteurs u→(xy)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v→(x′y′)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} grâce à la formule suivante :

Théorème

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient u→(xy)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v→(x′y′)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs du plan; alors :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Remarque

Lorsque la figure ne comporte pas de repère orthonormé, il est toujours possible d'en choisir un soi-même. Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est important que le repère soit orthonormé.

Exemple

Reprenons l'exemple étudié lors de la première méthode en nous plaçant, cette fois, dans le repère (A ; i⃗, j⃗)(A~;~\vec{i},~\vec{j}) représenté ci-dessous :

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Les coordonnées des points A,B,C,D,IA, B, C, D, I dans le repère orthonormé (A ; i⃗, j⃗)(A~;~\vec{i},~\vec{j}) sont :
A(0 ; 0) ;B(4 ; 0) ; C(4 ; 4) ;D(0 ; 4) ; I(2 ; 0)A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0)

On on déduit les coordonnées des vecteurs IB→\overrightarrow{IB} et ID→ :\overrightarrow{ID}~:
IB→(xB−xIyB−yI)\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} - x_{I} \\ y_{B} - y_{I} \end{pmatrix} donc IB→(20)\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}

ID→(xD−xIyD−yI)\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} - x_{I} \\ y_{D} - y_{I} \end{pmatrix} donc ID→(−24)\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} - 2 \\ 4 \end{pmatrix}

Par conséquent :

IB→⋅ID→=2×(−2)+4×0=−4\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}=2 \times ( - 2) +4 \times 0= - 4

5. Utiliser la relation de Chasles

Une autre façon de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs consiste à décomposer ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles puis à utiliser la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition ou à la soustraction de vecteurs.

Propriété

Pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗ :\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}~:

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot \left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}

Remarque

Cette méthode est très générale et elle peut souvent remplacer les méthodes 1 ou 4 ; cependant, elle peut être parfois plus difficile à manier.

Sur la figure ci-dessous, ABCDABCD est un losange dont les diagonales mesurent : AC=12AC=12 et BD=6.BD=6.
On souhaite calculer le produit scalaire AB→⋅BC→.\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}.

Exemple

Produit scalaire et relation de Chasles

Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre II et employer la méthode précédente. Toutefois, Il est également possible ici de décomposer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le point II : AB→=AI→+IB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}
BC→=BI→+IC→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}

On peut alors calculer le produit scalaire AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante :

AB→⋅BC→=(AI→+IB→)⋅(BI→+IC→)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right)
AB→⋅BC→=AI→⋅BI→+AI→⋅IC→+IB→⋅BI→+IB→⋅IC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}

Comme les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et BI→\overrightarrow{BI} sont orthogonaux le produit scalaire AI→⋅BI→\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} est nul ; pour la même raison le produit scalaire IB→⋅IC→ \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} est lui aussi nul.
De plus, IC→=AI→\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, IB=12DB=3IB=\frac{1}{2} DB=3 et IC=AI=12AC=6.IC=AI=\frac{1}{2} AC=6.

Par conséquent :
AB→⋅BC→=AI→2−IB→2=AI2−IB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 - \overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 - IB{}^2
AB→⋅BC→=62−32=36−9=27.\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 - 3{}^2 =36 - 9=27.

(Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore correct si ABCDABCD est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange)

Dans ce chapitre :

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