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[ROC] Formule d'Al-Kashi

Soit ABCABC est un triangle quelconque.

En utilisant la relation de Chasles , montrer la formule d'Al-Kashi :

BC2=AB2+AC2−2 AB ACcos(AB→,AC→)BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 ~AB ~ AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Corrigé

D'après la relation de Chasles BC→=BA→+AC→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}. Par conséquent :

BC2=BC→2=(BA→+AC→)2=BA→2+2BA→.AC→+AC→2=BA→2−2AB→.AC→+AC→2BC^{2}=\overrightarrow{BC}^{2}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)^{2}=\overrightarrow{BA}^{2}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2}=\overrightarrow{BA}^{2} - 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2}

Or d'après la définition du produit scalaire :

AB→.AC→=∣∣AB→∣∣×∣∣AC→∣∣×cos(AB→,AC→)=AB×AC×cos(AB→,AC→)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)

Par conséquent :

BC2=AB2+AC2−2AB×ACcos(AB→,AC→)BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

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