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Première

Cours

Produit scalaire

1. Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.

On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarques

  • Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !

  • On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.

  • Si l'un des vecteurs \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n'est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0

  • Le cosinus d'un angle étant égal au cosinus de l'angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

Exemple

Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}

Propriété

Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0

Démonstration

Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux

Propriété

Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :

  • \left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)

  • \vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

Définition et propriété

Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :

\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}

Démonstration

Le cosinus d'un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}

Théorème

Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right)

Démonstration

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}

Par conséquent :

||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)

et l'on obtient l'égalité souhaitée en divisant chaque membre par 2.

Remarque

De la même manière, en développant (\vec{u}-\vec{v})^{2} on obtient :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2} -||\vec{u}-\vec{v}||^{2}\right)

Exemple

Triangle équilatéral

ABCD est un parallélogramme tel que AB=6, AC=4 et BC=5.
On souhaite calculer \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)

Or \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d'après la relation de Chasles. Par conséquent :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16-36-25\right)=-\frac{45}{2}

Théorème

Soient A, B, C trois points du plan et H la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right)

Alors :

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus

Produit scalaire et projection orthogonale

Ici : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH

Exemple

Produit scalaire et projection orthogonale

Sur la figure ci-dessus où l'unité est le carreau, le point C se projette orthogonalement sur la droite \left(AB\right) en un point H (non représenté) tel que AH=2.

Par conséquent, l'angle \widehat{BAC} étant aigu :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6

Théorème

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

Démonstration

Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}

\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}

Or, comme le repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :

\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

2. Applications du produit scalaire

Théorème (de la médiane)

Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]. Alors :

AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}

Théorème de la médiane

Médiane dans un triangle

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane

Propriété (Formule d'Al Kashi)

Soit ABC un triangle quelconque :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)

Remarque

  • La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d'Al Kashi

  • Si le triangle ABC est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.

Définition (Vecteur normal à une droite)

On dit qu'un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.

Vecteur normal à une droite

Vecteur \vec{n} normal à la droite d

Théorème

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)

La droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+c=0

où a, b sont les coordonnées de \vec{n} et c un nombre réel.

Réciproquement, l'ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 (a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).

Remarque

La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite

Théorème (équation cartésienne d'un cercle)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).

Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et r un réel positif.

Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :

\left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}=r^{2}

Démonstration

Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IM et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.

Exemple

Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right) et de rayon 5 a pour équation :

\left(x-3\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=25

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=25

x^{2}-6x+y^{2}-8y=0

Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.

Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)

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Dans ce chapitre...

Exercices

  • facileProduit scalaire - Calcul d'angle
  • facileProduit scalaire et quadrillage. Calcul d'angle.
  • moyen[ROC] Formule d'Al-Kashi
  • moyen[ROC] Formule de soustraction des cosinus
  • moyenProduit scalaire - Calcul de longueurs
  • moyen[ROC] Théorème de la médiane
  • moyen[ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite
  • difficilePuissance d'un point par rapport à un cercle

Méthodes

  • 5 méthodes pour calculer un produit scalaire
  • Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation

Quiz

  • facileProduit scalaire et quadrillage

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