1. Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.
On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :
Remarques
Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !
On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.
Si l'un des vecteurs \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n'est pas défini; on considèrera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0
Le cosinus d'un angle étant égal au cosinus de l'angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}
Exemple
ABC est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}
Propriété
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0
Démonstration
Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :
\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux
Propriété
Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :
\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)
\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}
Définition et propriété
Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :
\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}
Démonstration
Le cosinus d'un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :
\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}
Théorème
Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :
Démonstration
||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2}Par conséquent :
||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}.\vec{v}\right)
et l'on obtient l'égalité souhaitée en divisant chaque membre par 2.
Remarque
De la même manière, en développant (\vec{u}-\vec{v})^{2} on obtient :
Exemple
ABCD est un parallélogramme tel que AB=6, AC=4 et BC=5.
On souhaite calculer \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
Or \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} d'après la relation de Chasles. Par conséquent :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{AD}||^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right)
\phantom{{AB}.{AD}}=\frac{1}{2}\left(16-36-25\right)=-\frac{45}{2}
Théorème
Soient A, B, C trois points du plan et H la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right)
Alors :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus
Ici : \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH
Exemple
Sur la figure ci-dessus où l'unité est le carreau, le point C se projette orthogonalement sur la droite \left(AB\right) en un point H (non représenté) tel que AH=2.
Par conséquent, l'angle \widehat{BAC} étant aigu :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6
Théorème
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :
Démonstration
Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}
\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}
Or, comme le repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :
\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}
2. Applications du produit scalaire
Théorème (de la médiane)
Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]. Alors :
Médiane dans un triangle
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane
Propriété (Formule d'Al Kashi)
Soit ABC un triangle quelconque :
Remarque
La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d'Al Kashi
Si le triangle ABC est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.
Définition (Vecteur normal à une droite)
On dit qu'un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.
Vecteur \vec{n} normal à la droite d
Théorème
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)
La droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :
où a, b sont les coordonnées de \vec{n} et c un nombre réel.
Réciproquement, l'ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 (a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite
Théorème (équation cartésienne d'un cercle)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).
Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et r un réel positif.
Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :
Démonstration
Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IM et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x-x_{I}\right)^{2}+\left(y-y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.
Exemple
Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right) et de rayon 5 a pour équation :
\left(x-3\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=25
x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=25
x^{2}-6x+y^{2}-8y=0
Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.
Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)
