Produit scalaire - Calcul de longueurs

Produit scalaire triangle rectangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $H$ désigne le pied de la hauteur issue de $A$ .

Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ en fonction de $AB$ .
Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ en fonction de $BH$ et $BC$ .
En déduire que $BH=\frac{AB^{2}}{BC}$

Corrigé

Le point $C$ se projette orthogonalement en $A$ sur la droite $\left(AB\right)$ . L'angle $\widehat{ABC}$ est aigu (car c'est un angle non droit d'un triangle rectangle).

Par conséquent, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=AB\times AB=AB^{2}$

Remarque : On peut aussi démontrer le résutat en utilisant la relation de Chasles :

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=AB^{2}$
Le point $A$ se projette orthogonalement en $H$ sur la droite $\left(BC\right)$ .

Par conséquent :

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC$
On déduit des questions 1. et 2. que :

$AB^{2}=BH\times BC$ donc :

$BH=\frac{AB^{2}}{BC}$