Produit scalaire - Calcul d'angle

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)$ on considère les points:

$A \left( - 1 ; 2\right) , B \left(0 ; 5\right)$ et $C \left(2 ; 1\right)$

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ et les normes $||\overrightarrow{CA}||$ et $||\overrightarrow{CB}||$

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ .
Que peut-on en conclure pour le triangle $ABC$ ?

Corrigé

$\overrightarrow{AB} \left(1 ; 3\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(3 ; - 1\right)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times 3+3\times \left( - 1\right)=0$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont donc orthogonaux.
$\overrightarrow{CA} \left( - 3 ; 1\right)$ et $\overrightarrow{CB} \left( - 2 ; 4\right)$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left( - 3\right)\times \left( - 2\right)+1\times 4=10$

$||\overrightarrow{CA}||=\sqrt{\left( - 3\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$ et $||\overrightarrow{CB}||=\sqrt{\left( - 2\right)^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Comme $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||\times \cos\left(\widehat{ACB}\right)$ on en déduit :

$\cos\left(\widehat{ACB}\right) = \frac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||} = \frac{10}{2\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

L'angle $\widehat{ACB}$ mesure donc $45$ °
L'angle $\widehat{ABC}$ mesure $180 - 90 - 45=45$ ° également, donc le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ .