Produit scalaire et quadrillage

Les vecteurs $\overrightarrow{ v }$ et $\overrightarrow{ w }$ se projettent en $\overrightarrow{ v^{\prime} }$ et $\overrightarrow{ w^{\prime} }$ sur l'axe de vecteur directeur $\overrightarrow{ u }$ :

$Produit scalaire de vecteurs$

$\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v^{\prime} } = 4 \times 6 = 24$
$\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w^{\prime} } = 4 \times 2 = 8.$

Donc $\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = 3 \times \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }$

Énoncé Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage3

On considère le triangle rectangle isocèle $ABC$ de hauteur $[AH]$ ci-dessous :

$Triangle isocèle et quadrillage$

L'unité est la longueur du côté d'un carré du quadrillage.

$\overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ AB } = 9$

VRAI FAUX

1^re - Produit scalaire et quadrillage3

Réponse Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage3

Explications Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage3

C'est vrai.

Le point $A$ se projette en $H$ sur la droite $(BC).$

Les vecteurs $\overrightarrow{ CH }$ et $\overrightarrow{ HB }$ sont égaux.
Par conséquent :

$\overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ HB } = \overrightarrow{ CH }^2=CH^2 = 3^2 = 9.$

Énoncé Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage4

Soit le triangle $ABC$ ci-dessous :

$Produit Scalaire et quadrillage$

L'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.

$\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = 16.$

VRAI FAUX

1^re - Produit scalaire et quadrillage4

Réponse Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage4

Explications Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage4

C'est faux.

Le point $C$ se projette en $H$ sur la droite $(AB)$ :

$Produit Scalaire et quadrillage$

L'angle $\widehat{ BAC }$ étant aigu :

$\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = AH \times AB = 4 \times 6 = 24.$

Énoncé Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage5

$ABCD$ est le parallélogramme ci-dessous :

$Parallélogramme et quadrillage$

( L'unité correspond au côté d'un carré du quadrillage.)

$\overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ BD } = 9$

VRAI FAUX

1^re - Produit scalaire et quadrillage5

Réponse Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage5

Explications Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage5

C'est vrai.

Les points $B$ et $D$ se projettent en $A$ et $C$ sur la droite $\left( AC \right).$

Alors :

$\overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ BD } = \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ AC }$ $= \overrightarrow{ AC }^2 = AC^2 =3^2 =9.$

Énoncé Question suivante

1^re - Produit scalaire et quadrillage6

On considère la figure ci-dessous, l'unité étant le carreau :

$Produit scalaire 3 vecteurs$

$\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }$

VRAI FAUX

1^re - Produit scalaire et quadrillage6

Réponse Bilan

1^re - Produit scalaire et quadrillage6

Explications Bilan

1^re - Produit scalaire et quadrillage6

C'est faux.

Les vecteurs $\overrightarrow{ v }$ et $\overrightarrow{ w }$ sont opposés donc $\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = - \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }$

Par ailleurs, ce produit scalaire n'est pas nul car $\overrightarrow{ u }$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{ v }$ ( ou $\overrightarrow{ w }$ ) donc :
$\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } \neq \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }$

Énoncé Bilan

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