Propriété
Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques.
Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire :
Utiliser une projection orthogonale,
Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle,
Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs,
Se placer dans un repère orthonormé,
Utiliser la relation de Chasles.
1. Utiliser une projection orthogonale
Pour calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point C sur la droite (AB) .
Notons H ce projeté orthogonal :
On utilise alors le théorème suivant (voir cours) :
Théorème
Soient A, B, C trois points du plan et si H est la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right).
Alors :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus
Remarque
Dire que l'angle \widehat{BAC} est aigu revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont le même sens.
Dire que l'angle \widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont des sens opposés.
Exemple
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré de côté 4 unités et I et le milieu du segment [AB].
On cherche à calculer la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} .
La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale A du point D sur la droite (IB).
L'angle \widehat{DIB} est ici un angle obtus.
Les segments IB et AI mesure chacun 2 unités.
On a donc :
\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA
\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4
2. Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle
Si l'on connaît l'angle \widehat{BAC}, on peut calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en utilisant les longueurs AB et AC ainsi que le cosinus de l'angle \widehat{BAC}(Voir Définition du produit scalaire.)
Définition
Le produit scalaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} est le nombre réel noté \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} défini par :
Remarque
Le sens de l'angle n'a pas d'importance dans cette formule puisque pour tout angle \theta \ : \cos \theta =\cos( - \theta ).
On peut donc aussi bien utiliser des angles orientés ( comme \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right) ) que des angles géométriques ( comme \widehat{BAC} ).
Exemple
Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10{}^{ -2} près du produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} .
Bien sûr, on utilise la définition du produit scalaire à l'aide des angles puisqu'ici on connaît l'angle \widehat{BAC} .
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28.
3. Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs
Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) :
Théorème
Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} :
Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous :
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} (Relation de Chasles)
Si M et le milieu du segment [BC]\ :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} (Propriété de la médiane)
Exemple
Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} .
Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}
On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5
4. Se placer dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, il est facile de calculer le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} grâce à la formule suivante :
Théorème
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs du plan; alors :
Remarque
Lorsque la figure ne comporte pas de repère orthonormé, il est toujours possible d'en choisir un soi-même. Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est important que le repère soit orthonormé.
Exemple
Reprenons l'exemple étudié lors de la première méthode en nous plaçant, cette fois, dans le repère (A~;~\vec{i},~\vec{j}) représenté ci-dessous :
Les coordonnées des points A, B, C, D, I dans le repère orthonormé (A~;~\vec{i},~\vec{j}) sont :
A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0)
On on déduit les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{ID}~:
\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} -x_{I} \\ y_{B} -y_{I} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} -x_{I} \\ y_{D} -y_{I} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}
Par conséquent :
\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}=2 \times ( -2) +4 \times 0= -4
5. Utiliser la relation de Chasles
Une autre façon de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs consiste à décomposer ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles puis à utiliser la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition ou à la soustraction de vecteurs.
Propriété
Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}~:
Remarque
Cette méthode est très générale et elle peut souvent remplacer les méthodes 1 ou 4 ; cependant, elle peut être parfois plus difficile à manier.
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un losange dont les diagonales mesurent : AC=12 et BD=6.
On souhaite calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}.
Exemple
Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre I et employer la méthode précédente. Toutefois, Il est également possible ici de décomposer les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le point I : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}
On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}
Comme les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux le produit scalaire \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} est nul ; pour la même raison le produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} est lui aussi nul.
De plus, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, IB=\frac{1}{2} DB=3 et IC=AI=\frac{1}{2} AC=6.
Par conséquent :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 -29=27.
(Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore correct si ABCD est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange)
