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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Bac S Antilles Guyane 2013

Exercice 2   5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Soient nn un entier naturel, pp un nombre réel compris entre 00 et 11 et XnX_{n} une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp. On note Fn=XnnF_{n}=\frac{X_{n}}{n} et ff une valeur prise par FnF_{n}.

On rappelle que, pour nn assez grand, l'intervalle [p1n;p+1n]\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right] contient la fréquence ff avec

une probabilité au moins égale à 0,950,95.

En déduire que l'intervalle [f1n;f+1n]\left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}} \right] contient pp avec une probabilité au moins égale à 0,950,95.

Partie B

On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF.

Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées A, B et C, la bonne réponse étant la A.

On note rr la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond A, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

  1. On interroge un étudiant au hasard. On note :

    □  AA l'évènement "l'étudiant répond A",

    □  BB l'évènement "l'étudiant répond B",

    □  CC l'évènement "l'étudiant répond C",

    □  RR ['évènement "l'étudiant connait la réponse",

    □  R\overline{R} l'évènement contraire de RR.

    1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.

    2. Montrer que la probabilité de l'évènement AA est P(A)=13(1+2r)P\left(A\right)=\frac{1}{3}\left(1+2r\right).

    3. Exprimer en fonction de rr la probabilité qu'une personne ayant choisi AA connaisse la bonne réponse

  2. Pour estimer rr, on interroge 400 personnes et on note XX la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de 400400 étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.

    1. Donner la loi de XX et ses paramètres nn et pp en fonction de rr.

    2. Dans un premier sondage, on constate que 240240 étudiants répondent A, parmi les 400 interrogés.

      Donner un intervalle de confiance au seuil de 95% de l'estimation de pp.

      En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95% de rr.

    3. Dans la suite, on suppose que r=0,4r=0,4. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que XX suit une loi normale.

      • Donner les paramètres de cette loi normale.

      • Donner une valeur approchée de P(X250)P\left(X\leqslant 250\right) à 10210^{ - 2} près.

      On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de P(Xt)P\left(X\leqslant t\right)XX est la variable aléatoire de la question 2. c

Annexe 1

Table de probabilités - Bac S  Antilles Guyane 2013

(Extrait d'une feuille de calcul ) Exemple d'utilisation : au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre 0,7060,706 correspond à P(X245,3)P\left(X\leqslant 245,3\right).