Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac S Antilles Guyane 2013

Exercice 3   5 points

Commun à tous les candidats

Dans tout ce qui suit, mm désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit ff la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels R\mathbb{R} telle que :

f(x)=(x+1)ex. f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{x}.

  1. Calculer la limite de ff en ++ \infty et en - \infty .

  2. On note ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff sur R\mathbb{R}.

    Démontrer que pour tout réel x,f(x)=(x+2)exx, f^{\prime}\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{x}.

  3. Dresser le tableau de variation de ff sur R\mathbb{R}.

Partie B

On définit la fonction gmg_{m} sur R\mathbb{R} par

gm(x)=x+1mexg_{m}\left(x\right)=x+1 - me^{ - x}

et on note Cm\mathscr C_{m} la courbe de la fonction gmg_{m} dans un repère (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) du plan.

    1. Démontrer que gm(x)=0g_{m}\left(x\right)=0 si et seulement si f(x)=mf\left(x\right)=m.

    2. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe Cm\mathscr C_{m} avec l'axe des abscisses en fonction du réel mm

  1. On a représenté ci-dessous les courbes C0\mathscr C_{0}, Ce\mathscr C_{e} et Ce\mathscr C_{ - e} (obtenues en prenant respectivement pour mm les valeurs 0,e0, e et e - e).

    Fonctions - Bac S  Antilles Guyane 2013

    Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.

  2. Étudier la position de la courbe Cm\mathscr C_{m} par rapport à la droite D\mathscr D d'équation y=x+1y=x+1 suivant les valeurs du réel mm.

    1. On appelle D2D_{2} la partie du plan comprise entre les courbes Ce\mathscr C_{e} , Ce\mathscr C_{ - e} , l'axe (Oy)\left(Oy\right) et la droite x=2x=2. Hachurer D2D_{2} sur l'annexe 2.

    2. Dans cette question, aa désigne un réel positif, DaD_{a} la partie du plan comprise entre Ce\mathscr C_{e} , Ce\mathscr C_{ - e} , l'axe (Oy)\left(Oy\right) et la droite DaD_{a} d'équation x=ax=a. On désigne par A(a)\mathscr A\left(a\right) l'aire de cette partie du plan exprimée en unités d'aire.

      Démontrer que pour tout réel aa positif : A(a)=2e2e1a\mathscr A\left(a\right)=2e - 2e^{1 - a}.

      En déduire la limite de A(a)\mathscr A\left(a\right) quand aa tend vers ++ \infty