Fonctions - Bac S Antilles Guyane 2013
Exercice 3 5 points
Commun à tous les candidats
Dans tout ce qui suit, désigne un nombre réel quelconque.
Partie A
Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que :
Calculer la limite de en et en .
On note la fonction dérivée de la fonction sur .
Démontrer que pour tout réel .
Dresser le tableau de variation de sur .
Partie B
On définit la fonction sur par
et on note la courbe de la fonction dans un repère du plan.
Démontrer que si et seulement si .
Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses en fonction du réel
On a représenté ci-dessous les courbes , et (obtenues en prenant respectivement pour les valeurs et ).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.
Étudier la position de la courbe par rapport à la droite d'équation suivant les valeurs du réel .
On appelle la partie du plan comprise entre les courbes , , l'axe et la droite . Hachurer sur l'annexe 2.
Dans cette question, désigne un réel positif, la partie du plan comprise entre , , l'axe et la droite d'équation . On désigne par l'aire de cette partie du plan exprimée en unités d'aire.
Démontrer que pour tout réel positif : .
En déduire la limite de quand tend vers