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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites arithmétiques et géométriques

Pour son appartement, Alexandre paye, tous les mois, un loyer brut et des charges locatives. On appelle loyer net, la somme du loyer brut et des charges locatives.

En 2016, le loyer brut était de 450 euros (mensuel) et les charges de 60 euros (mensuel).

Au premier janvier de chaque année, le loyer brut mensuel augmente de 1,5 % et les charges locatives mensuelles augmentent de 1€.

On note :

  1. Calculer b0b_0 et c0c_0.

    En déduire que l0=6120l_0=6120.

  2. Calculer b1,c1b_1, c_1 et l1l_1 puis b2,c2b_2, c_2 et l2l_2.

  3. Exprimer bn+1b_{n+1} en fonction de bnb_n, puis cn+1c_{n+1} en fonction de cnc_n.

  4. Pour chacune des suites (bn),(cn)(b_n), (c_n) et (ln)(l_n) indiquer s'il s'agit d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique ou d'une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique.

  5. Exprimer bn,cnb_n, c_n puis lnl_n en fonction de nn.

  6. Quel sera le total des loyers nets payés par Alexandre au cours des dix premières années (de 2016 à 2025) ?

Corrigé

  1. En 2016, Alexandre paiera 450 euros de loyer brut tous les mois donc le total en euros sera :

    b0=12×450=5400b_0=12 \times 450=5400

    De même, le total en euros des charges locatives pour 2016 sera :

    c0=12×60=720c_0=12 \times 60=720

    Le total des loyers nets s'obtiendra en faisant la somme des loyers bruts et des charges locatives :

    l0=b0+c0=5400+720=6120l_0=b_0+c_0=5400+720=6120

  2. Augmenter un montant de 1,51,5% revient à multiplier ce montant par 1,0151,015.

    Le montant des loyers bruts mensuels en 2017 sera donc de 450×1,015=456,75450 \times 1,015 = 456,75 euros et le total annuel des loyers bruts :

    b1=450×1,015×12=5481b_1=450 \times 1,015 \times 12 = 5481

    On remarque que pour obtenir b1b_1 il suffit de multiplier b0b_0 par 1,0151,015.

    En 2017, Alexandre paiera 11 euro de charges supplémentaires tous les mois. Sur l'année, il paiera donc 1212 euros de charges de plus qu'en 2016.

    Le total des charges locatives en euros pour l'année 2017 sera donc :

    c1=c0+12=720+12=732c_1=c_0+12=720+12=732

    Le total des loyers nets pour 2012 sera :

    l1=b1+c1=5481+732=6213l_1=b_1+c_1=5481+732=6213

    Un raisonnement analogue permet de calculer les montants des loyers et des charges en 2018 :

    b2=b1×1,015=5563,215b_2=b_1 \times 1,015=5563,215 (ou 5563,225563,22 arrondi au centime)

    c2=c1+12=732+12=744c_2=c_1+12=732+12=744

    l2=b2+c2=6307,215l_2=b_2+c_2=6307,215 (ou 6307,226307,22 arrondi au centime)

  3. Les loyers bruts de l'année de rang n+1n+1 s'obtiennent en multipliant les loyers bruts de l'année de rang nn par 1,0151,015. On a donc :

    bn+1=1,015×bnb_{n+1}=1,015 \times b_n

    Les charges de l'année de rang n+1n+1 s'obtiennent en ajoutant 1212 aux charges de l'année de rang nn. Par conséquent :

    cn+1=cn+12c_{n+1}=c_n+12

  4. D'après les questions précédentes:

    (bn)(b_n) est une suite géométrique de premier terme b0=5400b_0=5400 et de raison 1,0151,015.

    (cn)(c_n) est une suite arithmétique de premier terme c0=720c_0=720 et de raison 1212.

    Montrons que la suite (ln)(l_n) n'est ni arithmétique ni géométrique :

    l1l0=62136120=93l_1 - l_0=6213 - 6120=93

    l2l1=6307,2156213=94,215l_2 - l_1=6307,215 - 6213=94,215

    La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite (ln)(l_n) n'est pas arithmétique.

    l1l0=621361201,01520 \frac{l_1}{l_0} = \frac{6213}{6120} \approx 1,0152010510^{^ - 5} près)

    l2l1=6307,21562131,01516\frac{l_2}{l_1} = \frac{6307,215}{6213} \approx 1,0151610510^{^ - 5} près)

    Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite (ln)(l_n) n'est pas géométrique.

  5. La suite (bn)(b_n) est une suite géométrique de premier terme b0=5400b_0=5400 et de raison q=1,015q=1,015, par conséquent :

    bn=b0×qn=5400×1,015nb_n=b_0 \times q^n=5400 \times 1,015^n

    La suite (cn)(c_n) est une suite arithmétique de premier terme c0=720c_0=720 et de raison r=12r=12, donc :

    cn=c0+nr=720+12nc_n=c_0 + n r=720 + 12n

    lnl_n est la somme de bnb_n et cnc_n :

    ln=5400×1,015n+720+12nl_n=5400 \times 1,015^n+720+12n

  6. Le total des loyers bruts lors des 10 premières années est :

    B=b0+b1++b9B=b_0+b_1+ \cdots +b_9

    B=5400+5400×1,015++5400×1,0159\phantom{B}=5400+5400 \times 1,015 + \cdots +5400 \times 1,015^9

    B=5400(1+1,015++1,0159)\phantom{B}=5400(1+1,015 + \cdots +1,015^9)

    donc d'après la formule 1+q+q2++qn=1qn+11q1+q+q^2+\cdots+q^n= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} :

    B=5400×11.0151011.015B=5400 \times \frac{1 - 1.015^{10}}{1 - 1.015}

    B57794,70\phantom{B} \approx 57794,70 (au centime près)

    Le total des charges locatives lors des 10 premières années est :

    C=c0+c1++c9C=c_0+c_1+ \cdots +c_9

    C=720+720+12×1+720+12×2+C=720+ 720+12 \times 1+ 720+12 \times 2 ++720+12×9 \cdots +720+12 \times 9

    On regroupe les termes égaux à 720720; il y en a 10, donc :

    C=720×10+12×1+12×2++12×9C=720\times 10+12 \times 1+12 \times 2 + \cdots +12 \times 9

    C=7200+12(1+2++9)\phantom{C}=7200+12 (1+2+\cdots +9)

    On applique la formule 1+2++n=n(n+1)21+2+\cdots +n= \frac{n(n+1)}{2} :

    C=7200+12×9×102=7740C=7200+12\times \frac{9\times 10}{2} = 7740

    Le total des loyers nets que paiera Alexandre au cours des 10 premières années est donc :

    L=B+C=57794,70+7740=65534,70L=B+C=57794,70+7740=65534,70 euros