Puissance d’un point par rapport à un cercle
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Énoncé
$ \mathscr C $ est un cercle de centre $ O $ et de rayon $ r $ et $ \left[AB\right] $ est un diamètre de ce cercle.
$ M $ est un point situé à l'extérieur du cercle. On admettra que, dans ce cas, l'angle $ \widehat{AMB} $ est aigu.
Les droites $ \left(AM\right) $ et $ \left(BM\right) $ coupent $ \mathscr C $ respectivement en $ I $ et $ J $.
- Montrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI\times MA $.
- En déduire que $ MI\times MA=OM^{2} - r^{2} $
Corrigé
- $ I $ étant situé sur le cercle de diamètre $ \left[AB\right] $, le triangle $ ABI $ est rectangle en $ I $
$ I $ est donc le projeté orthogonal de $ B $ sur $ \left(AM\right) $.
Comme l'angle $ \widehat{AMB} $ est aigu, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :
$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MA\times MI $ Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles et en remarquant que $ O $ est le milieu de $ [AB] $ donc $ \overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA} $ :
$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right) $
$ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{OA}\right) $
$ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}=\overrightarrow{MO}^{2} - \overrightarrow{OA}^{2}=OM^{2} - r^{2} $Par conséquent : $ MI\times MA=OM^{2} - r^{2} $
Remarque : Le résultat $ MI\times MA=OM^{2} - r^{2} $ montre que le produit $ MI\times MA $ ne dépend pas de la position du point $ A $ sur le cercle mais dépend uniquement du rayon du cercle et de la distance $ OM $. Ce nombre s'appelle la puissance du point $ M $ par rapport au cercle $ \mathscr C $.