Exercice corrigé
\mathscr C est un cercle de centre O et de rayon r et \left[AB\right] est un diamètre de ce cercle.
M esu un point situé à l'extérieur du cercle. On admettra que, dans ce cas, l'angle \widehat{AMB} est aigu.
Les droites \left(AM\right) et \left(BM\right) coupent \mathscr C respectivement en I et J.
- Montrer que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI\times MA.
- En déduire que MI\times MA=OM^{2}-r^{2}
Corrigé
- I étant situé sur le cercle de diamètre \left[AB\right], le triangle ABI est rectangle en I
I est donc le projeté orthogonal de B sur \left(AM\right).
Comme l'angle \widehat{AMB} est aigu, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA\times MI - Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles :
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA}\right)
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}^{2}-\overrightarrow{OA}^{2}=OM^{2}-r^{2}
Par conséquent : MI\times MA=OM^{2}-r^{2}
Remarque: Le résultat MI\times MA=OM^{2}-r^{2} montre que le produit MI\times MA ne dépend pas de la position du point A sur le cercle mais dépend uniquement du rayon du cercle et de la distance OM. Ce nombre s'appelle la puissance du point M par rapport au cercle \mathscr C.
