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Puissance d'un point par rapport à un cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle

C\mathscr C est un cercle de centre OO et de rayon rr et [AB]\left[AB\right] est un diamètre de ce cercle.

MM est un point situé à l'extérieur du cercle. On admettra que, dans ce cas, l'angle AMB^\widehat{AMB} est aigu.

Les droites (AM)\left(AM\right) et (BM)\left(BM\right) coupent C\mathscr C respectivement en II et JJ.

  1. Montrer que MA→.MB→=MI×MA\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI\times MA.

  2. En déduire que MI×MA=OM2−r2MI\times MA=OM^{2} - r^{2}

Corrigé

  1. II étant situé sur le cercle de diamètre [AB]\left[AB\right], le triangle ABIABI est rectangle en II

    II est donc le projeté orthogonal de BB sur (AM)\left(AM\right).

    Comme l'angle AMB^\widehat{AMB} est aigu, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :

    MA→.MB→=MA×MI\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA\times MI

  2. Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles :

    MA→.MB→=(MO→+OA→).(MO→+OB→)=(MO→+OA→).(MO→−OA→)\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{OA}\right)

    MA→.MB→=MO→2−OA→2=OM2−r2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}^{2} - \overrightarrow{OA}^{2}=OM^{2} - r^{2}

    Par conséquent : MI×MA=OM2−r2MI\times MA=OM^{2} - r^{2}

    Remarque: Le résultat MI×MA=OM2−r2MI\times MA=OM^{2} - r^{2} montre que le produit MI×MAMI\times MA ne dépend pas de la position du point AA sur le cercle mais dépend uniquement du rayon du cercle et de la distance OMOM. Ce nombre s'appelle la puissance du point MM par rapport au cercle C\mathscr C.

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