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Première

moyenExercice corrigé

Produit scalaire - Calcul de longueurs


ABC est un triangle rectangle en A et H désigne le pied de la hauteur issue de A.

  1. Calculer \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} en fonction de AB.
  2. Calculer \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} en fonction de BH et BC.
  3. En déduire que BH=\frac{AB^{2}}{BC}

Corrigé

  1. Le point C se projette orthogonalement en A sur la droite \left(AB\right). L'angle \widehat{ABC} est aigu (car c'est un angle non droit d'un triangle rectangle).
    Par conséquent, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :
    \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=AB\times AB=AB^{2}
    Remarque : On peut aussi démontrer le résutat en utilisant la relation de Chasles :
    \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=AB^{2}
  2. Le point A se projette orthogonalement en H sur la droite \left(BC\right).
    Par conséquent :
    \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC
  3. On déduit des questions 1. et 2. que :
    AB^{2}=BH\times BC donc :
    BH=\frac{AB^{2}}{BC}
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Dans ce chapitre...

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