Exercice corrigé
ABC est un triangle rectangle en A et H désigne le pied de la hauteur issue de A.
- Calculer \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} en fonction de AB.
- Calculer \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} en fonction de BH et BC.
- En déduire que BH=\frac{AB^{2}}{BC}
Corrigé
- Le point C se projette orthogonalement en A sur la droite \left(AB\right). L'angle \widehat{ABC} est aigu (car c'est un angle non droit d'un triangle rectangle).
Par conséquent, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=AB\times AB=AB^{2}
Remarque : On peut aussi démontrer le résutat en utilisant la relation de Chasles :
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=AB^{2} - Le point A se projette orthogonalement en H sur la droite \left(BC\right).
Par conséquent :
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC - On déduit des questions 1. et 2. que :
AB^{2}=BH\times BC donc :
BH=\frac{AB^{2}}{BC}
