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Probabilités conditionnelles Exercices

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d'un tarif réduit.

Le directeur de la salle a constaté que :

  • 30% des spectateurs bénéficient du tarif réduit (les 70% restant payant plein tarif) ;
  • 45% des spectateurs payant plein tarif et 40% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film A ;
  • 30% des spectateurs payant plein tarif et 37% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film B ;
  • 25% des spectateurs payant plein tarif et 23% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film C.

On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :

  • $ R $ : l'événement « le spectateur bénéficie du tarif réduit » ;
  • $ A $ : l'événement « le spectateur a été voir le film A » ;
  • $ B $ : l'événement « le spectateur a été voir le film B » ;
  • $ C $ : l'événement « le spectateur a été voir le film C ».
  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d'aller voir le film A est égale à $ 0{,}435 $.
  3. On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu'il bénéficie du tarif réduit ?

  4. On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.

    On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.

    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $ X $ ? Préciser ses paramètres.
    2. Calculer la probabilité $ p(X \geqslant 1) $. Interpréter cette probabilité dans le cadre de l'énoncé.

Corrigé

  1. La situation peut être modélisée par l'arbre pondéré ci-après :

    Arbre pondéré de probabilité

    À retenir

    Le total des probabilités figurant sur l'ensemble des branches partant d'un même nœud est toujours égal à 1.

  2. La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est $ p(A) $.

    D'après la formule des probabilités totales :

    $ p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R}) $
    $ \phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A) $
    $ \phantom{p(A)}=0{,}3 \times 0{,}4 + 0{,}7 \times 0{,}45 = 0{,}435. $

    Théorème

    À retenir

    Formule des probabilités totales :

    Si les événements $ B_1, B_2, \cdots , B_n $ forment une partition de l'univers (c'est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement $ A $ :

    $ p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2) $
    $ +\cdots+p(A\cap B_n). $

    Un cas particulier très fréquent, dû au fait que $ B $ et $ \overline{B} $ forment une partition de l'univers, donne :

    $ p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}). $

  3. La probabilité demandée est $ p_A(R) $.

    Propriété

    En pratique

    Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l'énoncé.

    Dans le cas présent, on sait que l'événement $ A $ est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l'événement $ R $. On recherche donc $ p_A(R) $.

    Théorème

    Attention

    Ne pas confondre :

    • $ p(A\cap R) $ : probabilité que $ A $ et $ R $ se réalisent (alors que l'on n'a, a priori, aucune information concernant la réalisation de $ A $ ou de $ R $) ;
    • $ p_A(R) $ : probabilité que $ R $ se réalise alors que l'on sait que $ A $ est réalisé.

    D'après la formule des probabilités conditionnelles :

    $ p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0{,}3 \times 0{,}4}{0{,}435} =\dfrac{0{,}12}{0{,}435} \approx 0{,}276\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).

    1. La variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale de paramètres $ {n=3} $ et $ {p=0{,}435} $.

      En effet :

      • on assimile l'expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;
      • pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
      • succès : le spectateur vient d'aller voir le film A (probabilité $ p=0{,}435 $) ;
      • échec : le spectateur ne vient pas d'aller voir le film A.
      • la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.

    2. L'événement contraire de $ (X \geqslant 1) $ est $ (X<1) $ c'est-à-dire $ (X=0) $.

      Théorème

      Attention

      L'événement contraire de ($ X \geqslant a $) est ($ X < a $) et non ($ X \leqslant a $).

      Comme $ X $ suit une loi binomiale :

      $ p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0{,}435^0 \times 0{,}565^{3} = 0{,}565^{3} $.

      Par conséquent :

      $ p(X \geqslant 1)=1 - p(X=0) =1 - 0{,}565^{3} \approx 0{,}820\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).