Probabilités conditionnelles
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- Calculer une probabilité conditionnelle
- Construire un arbre pondéré et calculer une intersection
- Appliquer la formule des probabilités totales
- Montrer (ou réfuter) l'indépendance de deux événements
- Inverser un conditionnement avec la formule de Bayes
- Calculer et interpréter les indicateurs d'un test diagnostique
1. Conditionnement
Définition
$ A $ et $ B $ étant deux événements tels que $ p(A)\neq 0 $, la probabilité de $ B $ sachant $ A $ est le nombre réel :
Remarque
- On note aussi $ p_{A}(B) $ pour « probabilité de $ B $ sachant $ A $ » ; on évite la notation $ p(B \mid A) $, ambiguë avec une division.
- Rappel : Le signe $ \cap $ (intersection) correspond à « et ».
- De même si $ p(B)\neq 0 $, la probabilité de $ A $ sachant $ B $ est $ p_{B}(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} $.
Exemple
Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules sans remise On note :
- $ B_{1} $ l'événement « la première boule tirée est blanche »
- $ B_{2} $ l'événement « la seconde boule tirée est blanche »
La probabilité $ p_{B_{1}}(B_{2}) $ est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était blanche. Pour la calculer, on se place dans la situation où l'on se trouve après avoir obtenu une boule blanche au premier tirage. Il reste alors 6 boules dans l'urne ; 2 sont blanches et 4 sont rouges.
La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage est donc :
$ p_{B_{1}}(B_{2})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $
Cette probabilité se place sur l'arbre de la façon suivante :
On peut calculer de même $ p_{\overline{B_{1}}}(B_{2}) $ est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était rouge. Il reste alors 3 boules blanches et 3 boules rouges après le premier tirage donc :
$ p_{\overline{B_{1}}}(B_{2})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} $
et on peut compléter l'arbre :
Propriété
De la définition précédente, on déduit immédiatement que :
Remarque
Attention à ne pas confondre :
- $ p(A \cap B) $ qui est la probabilité que $ A $ et $ B $ soient réalisés alors qu'on ne possède aucune indication sur la réalisation de $ A $ ou de $ B $
- $ p_{A}(B) $ qui est la probabilité que $ B $ soit réalisé alors qu'on sait déjà que $ A $ est réalisé.
Exemple
Si l'on reprend l'exemple précédent, la probabilité de tirer 2 boules blanches est $ p(B_{1} \cap B_{2}) $ (il faut que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit blanche).
D'après la formule précédente :
$ p(B_{1} \cap B_{2})=p(B_{1})\times p_{B_{1}}(B_{2})=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{7} $
2. Formule des probabilités totales
Définition
On dit que les événements $ A_{1}, A_{2}, . . . , A_{n} $ forment une partition de l'univers $ \Omega $ si chaque élément de $ \Omega $ appartient à un et un seul des $ A_{i} $
Exemple
On lance un dé à 6 faces. On peut modéliser cette expérience par l'univers $ \Omega = \left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\} $.
Les événements :
- $ A_{1}=\left\{1; 2\right\} $ (le résultat est inférieur à 3)
- $ A_{2}=\left\{3\right\} $ (le résultat est égal à 3)
- $ A_{3}=\left\{4; 5; 6\right\} $ (le résultat est supérieur à 3)
forment une partition de $ \Omega $. En effet, chacune des six éventualités $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $ appartient à et à un seul des $ A_{i} $.
Remarque
$ A $ et $ \overline{A} $ forment une partition de l'univers, quel que soit l'événement $ A $. En effet, toute éventualité appartient soit à un événement, soit à son contraire et ne peut appartenir au deux en même temps.
Théorème
Formule des probabilités totales
Soit $ A_{1}, A_{2}, . . . , A_{n} $ une partition de l'univers $ \Omega $. Pour tout événement $ B $ :
$ p(B)=p(A_{1} \cap B) + p(A_{2} \cap B) + . . . + p(A_{n} \cap B) $
$ p(B)=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(B) + p(A_{2})\times p_{A_{2}}(B) + . . . + p(A_{n})\times p_{A_{n}}(B) $
En savoir plus
Cas particulier fréquent
Propriété
Comme $ A $ et $ \overline{A} $ forme une partition de l'univers :
Remarque
Le diagramme ci-dessous montre, sur un arbre, les chemins à prendre en compte pour calculer $ p(B) $. Ce sont les chemins qui aboutissent à $ B $.
Exemple
Si on reprend l'exemple ci-dessus, la probabilité que la seconde boule soit blanche est :
$ p(B_{2})=p(B_{1} \cap B_{2}) + p(\overline{B_{1}} \cap B_{2}) $
$ p(B_{2})=p(B_{1})\times p_{B_{1}}(B_{2}) + p(\overline{B_{1}})\times p_{\overline{B_{1}}}(B_{2}) $
$ p(B_{2})=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{7}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{7} $
3. Indépendance d'événements
Définition
Deux événements $ A $ et $ B $ sont dits indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre, autrement dit lorsque :
Remarque
Si $ p(A)\neq 0 $, l'indépendance équivaut à $ p_{A}(B)=p(B) $ : savoir que $ A $ est réalisé ne change rien à la probabilité de $ B $.
Exemple
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $ A $ : « obtenir Pile au premier lancer » et $ B $ : « obtenir Face au second lancer ».
Les deux lancers étant indépendants : $ p(A \cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}=p(A)\times p(B) $.
Les événements $ A $ et $ B $ sont donc indépendants.
4. Formule de Bayes
Théorème
Formule de Bayes
Soit $ A $ et $ B $ deux événements de probabilités non nulles. Alors :
Remarque
Cette formule, appelée inversion du conditionnement, permet de calculer $ p_{B}(A) $ à partir de $ p_{A}(B) $. Elle est centrale en inférence bayésienne : on dit que $ p(A) $ est la probabilité a priori de $ A $ et $ p_{B}(A) $ sa probabilité a posteriori (après observation de $ B $).
Exemple
Un test médical est positif chez 95 % des malades et chez 2 % des personnes saines. La maladie touche 1 % de la population.
On note $ M $ : « être malade » et $ T $ : « le test est positif ».
On a $ p(M)=0{,}01 $, $ p_{M}(T)=0{,}95 $, $ p_{\overline{M}}(T)=0{,}02 $.
D'après la formule des probabilités totales :
$ p(T)=p(M)\times p_{M}(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)=0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}02=0{,}0293 $
D'après la formule de Bayes, la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif vaut :
$ p_{T}(M)=\dfrac{p(M)\times p_{M}(T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}01 \times 0{,}95}{0{,}0293}\approx 0{,}324 $
Bien que le test paraisse fiable, moins d'un tiers des personnes positives sont effectivement malades : la rareté de la maladie pèse fortement sur la probabilité a posteriori.
5. Tests diagnostiques
Définition
Pour un test diagnostique appliqué à une maladie $ M $ et donnant un résultat positif $ T $ :
- La sensibilité du test est $ p_{M}(T) $ (probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade).
- La spécificité est $ p_{\overline{M}}(\overline{T}) $ (probabilité que le test soit négatif sachant que la personne est saine).
- La valeur prédictive positive est $ p_{T}(M) $ (probabilité d'être malade sachant que le test est positif).
- La valeur prédictive négative est $ p_{\overline{T}}(\overline{M}) $ (probabilité d'être sain sachant que le test est négatif).
Remarque
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence $ p(M) $ de la maladie : un même test n'a pas la même valeur prédictive selon la population testée. C'est pourquoi un test très sensible peut donner une faible valeur prédictive positive lorsque la maladie est rare (cf. l'exemple précédent).
Les questions essentielles
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle $ p_A(B) $ ?
On utilise la formule $ p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} $ (à condition que $ p(A)\neq 0 $), ou la lecture directe d'un tableau d'effectifs ou d'un arbre pondéré.
Voir la fiche méthode : Calculer une probabilité conditionnelle
2. Comment construire un arbre pondéré et calculer une intersection ?
On place sur les branches partant de la racine les probabilités $ p(A_i) $, puis sur les branches secondaires les conditionnelles $ p_{A_i}(B) $. La probabilité d'une intersection $ A\cap B $ est le produit des probabilités le long du chemin correspondant.
Voir la fiche méthode : Construire un arbre pondéré et calculer une intersection
3. Comment calculer $ p(B) $ avec la formule des probabilités totales ?
On choisit une partition $ A_1,\ldots,A_n $ de l'univers, puis on additionne les probabilités de tous les chemins menant à $ B $ : $ p(B)=\sum p(A_i)\times p_{A_i}(B) $.
Voir la fiche méthode : Appliquer la formule des probabilités totales
4. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
On compare $ p(A\cap B) $ et $ p(A)\times p(B) $ : si les deux sont égaux, $ A $ et $ B $ sont indépendants ; sinon ils ne le sont pas. On peut aussi vérifier $ p_A(B)=p(B) $ lorsque $ p(A)\neq 0 $.
Voir la fiche méthode : Montrer (ou réfuter) l'indépendance de deux événements
5. Comment renverser un conditionnement avec la formule de Bayes ?
On calcule d'abord $ p(B) $ par les probabilités totales, puis on applique $ p_B(A)=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)} $.
Voir la fiche méthode : Inverser un conditionnement avec la formule de Bayes
6. Que signifient sensibilité, spécificité, VPP et VPN d'un test ?
La sensibilité $ p_M(T) $ et la spécificité $ p_{\overline{M}}(\overline{T}) $ caractérisent le test ; les valeurs prédictives $ p_T(M) $ (VPP) et $ p_{\overline{T}}(\overline{M}) $ (VPN) dépendent en plus de la prévalence et s'obtiennent avec la formule de Bayes.
Voir la fiche méthode : Calculer et interpréter les indicateurs d'un test diagnostique