Probabilités-Loi binomiale-Bac ES Métropole 2008

Exercice 2 (5 points)

(Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :

Une étude statistique indique que :

On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.

On note les événements suivants :

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.

Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

$Arbre pondéré$

Pour trouver $p\left(N\right)$ , par exemple, on fait :

$p\left(N\right)=\frac{30}{200}=0,15$

(On peut, si l'on préfère, donner les probabilités sous forme de pourcentage ou de fraction)
La probabilité demandée est :

$p\left(N \cap D\right)=p\left(N\right)\times p_{N}\left(D\right)=0,05\times 0,15=0,0075$

où $p_{N}\left(D\right)$ désigne la probabilité de $D$ sachant $N$
$N$ , $R$ et $A$ forment une partition de l'univers donc :

$p\left(D\right)=p\left(D \cap N\right)+p\left(D \cap R\right)+p\left(D \cap A\right)$

$p\left(D\right)=p\left(N\right)\times p_{N}\left(D\right)+p\left(R\right)\times p_{R}\left(D\right)+p\left(A\right)\times p_{A}\left(D\right)$

$p\left(D\right)=0,15\times 0,05+0,45\times 0,1+ 0,4\times 0,2=0,1325$
La probabilité cherchée est :

$p_{D}\left(A\right)=\frac{p\left(A \cap D\right)}{p\left(D\right)}=\frac{p_{A}\left(D\right)\times p\left(A\right)}{p\left(D\right)}$

$p_{D}\left(A\right)=\frac{0,2\times 0,4}{0,1325}\approx 0,60$
On répète une épreuve de Bernouilli 3 fois de manière indépendante. Si on note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre d'ordinateurs défaillants, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $p=0,1325$ et $n=3$ .

La probabilité cherchée est donc :

$p\left(X=1\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\times p\times \left(1 - p\right)^{2}=3\times 0,1325\times 0,8675^{2}\approx 0,30$