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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités Arbre - Bac ES Pondichéry 2011

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :

20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que :

On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire.

On note :

  1. En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de p(T) et celle de p[sub]T[/sub](C), probabilité de l'évènement C sachant que T est réalisé.

  2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous:

    Arbre pondéré

    1. Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement M ∩ \cap C puis calculer p(M ∩ \cap C).

    2. Montrer que p(C)=0,76

  4. Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).

  5. Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte Tatin est vendue 7 €, et un café est vendu 2 €.

    Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 €, ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.

    1. Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?

    2. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :

      Somme sis_{i} 18 20 24 ... ... ...
      p(si)p\left(s_{i}\right) 0,02 0,18 ...

    3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

Corrigé

  1. T est l'évènement « le client choisit une part de tarte Tatin ».

    D'après l'énoncé :

    p(T)=300100=0,3p\left(T\right)=\frac{300}{100}=0,3

    pT(C)p_{T}\left(C\right) est la probabilité que le client prenne un café sachant qu'il a pris une tarte Tatin.

    D'après l'énoncé :

    p−T(C)=60100=0,6p - T\left(C\right)=\frac{60}{100}=0,6

  2. Arbre pondéré

    1. M∩CM \cap C est l'évènement « le client prend un assortiment de macarons et un café ».

      D'après la formule des probabilités conditionnelles :

      p(M∩C)=p(M)×pM(C)=0,5×0,8=0,4p\left(M \cap C\right)=p\left(M\right)\times p_{M}\left(C\right)=0,5\times 0,8=0,4

    2. D'après la formule des probabilités totales:

      p(C)=p(M∩C)+p(T∩C)+p(P∩C)p\left(C\right)=p\left(M \cap C\right)+p\left(T \cap C\right)+p\left(P \cap C\right)

      p(C)=0,4+p(T)×pT(C)+p(P)×pP(C)p\left(C\right)=0,4+p\left(T\right)\times p_{T}\left(C\right)+p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right)

      p(C)=0,4+0,3×0,6+0,2×0,9=0,76p\left(C\right)=0,4+0,3\times 0,6+0,2\times 0,9=0,76

  4. On recherche pC(M)p_{C}\left(M\right).

    D'après la formule des probabilités conditionnelles :

    pC(M)=p(M∩C)p(C)=0,40,76≈0,53p_{C}\left(M\right)=\frac{p\left(M \cap C\right)}{p\left(C\right)}=\frac{0,4}{0,76}\approx 0,53

    1. Les six éventualités sont : P∩C‾,P∩C,M∩C‾,M∩C,T∩C‾,T∩CP \cap \overline{C}, P \cap C, M \cap \overline{C}, M \cap C, T \cap \overline{C}, T \cap C. Les prix correspondants sont donnés par le tableau ci-dessous :

      évènement P∩C‾P \cap \overline{C} P∩CP \cap C M∩C‾M \cap \overline{C} M∩CM \cap C T∩C‾T \cap \overline{C} T∩CT \cap C
      prix 18 20 24 26 25 27
      Les six valeurs possibles sont donc 18, 20, 24, 25, 26 et 27 euros.

    2. On a p(P∩C)=p(P)×pP(C)=0,2×0,1=0,02p\left(P \cap C\right)=p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right)=0,2\times 0,1=0,02

      Les autres calculs sont analogues.

      La loi de probabilité est donnée par le tableau :

      sommes SiS_{i} 18 20 24 25 26 27
      p(Si)p\left(S_{i}\right) 0,02 0,18 0,1 0,12 0,4 0,18

    3. L'espérance mathématique est :

      E=0,02×18+0,18×20+0,1×24+0,12×25+0,4×26+0,18×27=24,62E=0,02\times 18+0,18\times 20+0,1\times 24+0,12\times 25+0,4\times 26+0,18\times 27=24,62

      La somme dépensée en moyenne par un client est donc 24,62 euros.

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