Probabilités conditionnelles - Arbre pondéré

La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés.

Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres.

On choisit au hasard un de ces DVD.

On note :

$D$ l'événement « le DVD a été reçu en dotation » et $\overline{D}$ l'événement contraire,
$U$ l'événement « le DVD est de production européenne » et $\overline{U}$ l'événement contraire.

On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités:

$Arbre pondéré$

par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est $p\left(D\right)=0,25$ .

On donne, de plus, la probabilité de l'événement $U$ : $p\left(U\right)=0,7625$ . Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

1. Donner la probabilité de $U$ sachant $D$ .
2. Calculer p( $\overline{D}$ ).
1. Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne (donner la valeur exacte).
2. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à $0,6$ .
Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne.

Partie B :

On choisit trois DVD au hasard. On admet que le nombre de DVD est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité de choisir un DVD reçu en dotation est égale à $0,25$ .

Déterminer la probabilité de l'événement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation ». (Donner la valeur décimale arrondie au millième).

Corrigé

Partie A :

1. Le résultat figure sur l'arbre (branche reliant $D$ à $U$ )
  
  $p_{D}\left(U\right)=0,65$
2. $p\left(\overline{D}\right)=1 - p\left(D\right)=1 - 0,25=0,75$
1. La probabilité pour que le DVD choisi ait été reçu en dotation est égale à $p\left(D \cap U\right)$ :
  
  $p\left(D \cap U\right)=p_{D}\left(U\right) \times p\left(D\right)=0,65 \times 0,25=0,1625$
2. On recherche $p\left(U \cap \overline{D}\right)$ . Or on sait que (voir cours) :
  
  $p\left(U\right)=p\left(U \cap \overline{D}\right)+p\left(U \cap D\right)$
  
  Par conséquent :
  
  $p\left(U \cap \overline{D}\right)=p\left(U\right) - p\left(U \cap D\right)=0,7625 - 0,1625=0,6$
La probabilité recherchée est : $p_{\overline{D}}\left(U\right)$

$p_{\overline{D}}\left(U\right)=\frac{p\left(\overline{D} \cap U\right)}{p\left(\overline{D}\right)}=\frac{0,6}{0,75}=0,8$

Partie B :

Soit $X$ le nombre de DVD reçus en dotation parmi les 3 choisis.

$X$ suit une loi binomiale $\mathscr B\left(3; 0,25\right)$ .

La probabilité recherchée est égale à :

$p(X=2)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times 0,25^{2}\times \left(1 - 0,25\right)^{1}\approx 0,141$ (valeur approchée arrondie au millième)

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Partie A :

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