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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Arbre-Loi binomiale-Bac ES Pondichéry 2008

Exercice 2

(5 points) - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.

Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction.

Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90 % des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80 % des clients ayant choisi la destination G.

On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.

On note les évènements :

  1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.

    1. Traduire par une phrase les évènements G ∩ \cap S et M ∩ \cap S puis calculer les probabilités

      P(G ∩ \cap S) et P(M ∩ \cap S).

    2. L'enquête montre que 72 % des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer P(A ∩ \cap S).

    3. En déduire PA(S)P_{A}\left(S\right), probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.

  3. Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination G (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).

  4. On prélève successivement au hasard trois questionnaires dans la pile d'enquêtes. On suppose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs sont indépendants.

    Calculer la probabilité de l'évènement : " les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits " (on donnera le résultat arrondi au millième).

Corrigé

  1. Arbre pondéré

    1. G∩SG \cap S = " le questionnaire est celui d'un client satisfait ayant choisi la destination G "

      M∩SM \cap S = " le questionnaire est celui d'un client satisfait ayant choisi la destination M"

      p(G∩S)=p(G)×pG(S)=0,3×0,8=0,24p\left(G \cap S\right)=p\left(G\right) \times p_{G}\left(S\right)=0,3 \times 0,8=0,24

      p(M∩S)=p(M)×pM(S)=0,2×0,9=0,18p\left(M \cap S\right)=p\left(M\right) \times p_{M}\left(S\right)=0,2 \times 0,9=0,18

    2. A, G et M forment une partition de l'univers, donc :

      p(S)=p(A∩S)+p(G∩S)+p(M∩S)p\left(S\right)=p\left(A \cap S\right)+p\left(G \cap S\right)+p\left(M \cap S\right)

      Par conséquent :

      p(A∩S)=p(S)−p(G∩S)−p(M∩S)=0,72−0,24−0,18=0,3p\left(A \cap S\right)=p\left(S\right) - p\left(G \cap S\right) - p\left(M \cap S\right)=0,72 - 0,24 - 0,18=0,3

    3. pA(S)=p(A∩S)p(A)=0,30,5=0,6p_{A}\left(S\right)=\frac{p\left(A \cap S\right)}{p\left(A\right)}=\frac{0,3}{0,5}=0,6

  3. La probabilité cherchée est:

    pS(G)=p(G∩S)p(S)=0,240,72=13p_{S}\left(G\right)=\frac{p\left(G \cap S\right)}{p\left(S\right)}=\frac{0,24}{0,72}=\frac{1}{3}

  4. Si XX désigne le nombre de questionnaires provenant de clients insatisfaits, XX suit une loi binomiale de paramètres n=3n=3 et p=p(S‾)=1−0,72=0,28p=p\left(\overline{S}\right)=1 - 0,72=0,28.

    La probabilité cherchée est donc:

    p(X=3)=(33)p3(1−p)0=p3=0,283≈0,022p\left(X=3\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}p^{3}\left(1 - p\right)^{0}=p^{3}=0,28^{3} \approx 0,022

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