[ROC] Formule d’Al-Kashi
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Énoncé
Soit $ ABC $ un triangle quelconque.
En utilisant la relation de Chasles, montrer la formule d'Al-Kashi :
Corrigé
D'après la relation de Chasles $ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} $. Par conséquent :
$ BC^{2}=\overrightarrow{BC}^{2}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)^{2} $
$ \phantom{BC^{2}}=\overrightarrow{BA}^{2}+2\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2} $
$ \phantom{BC^{2}}=\overrightarrow{BA}^{2} - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2} $
Or, d'après la définition du produit scalaire :
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) $
On en déduit la formule d'Al-Kashi :