Equations avec logarithme ou exponentielle

Corrigé

1. Cette équation est définie sur \mathbb{R}.
   e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2 (d’après cette propriété)
   L’équation a pour unique solution x=\ln2-1
2. L’équation est définie sur \mathbb{R} et équivalente à :
   x^{2}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)
   x^{2}=-\ln\left(2\right)
   Comme -\ln\left(2\right) < 0 l’équation proposée n’a pas de solution.
3. L’équation est définie si x+1 > 0 donc sur l’intervalle D=\left]-1 ; +\infty \right[
   Sur cet intervalle, elle est équivalente à :
   x+1=e^{-1}
   x=-1+e^{-1} (que l’on peut aussi écrire -1+\frac{1}{e} ou \frac{1-e}{e})
   Cette valeur appartient bien à D donc est l’unique solution de l’équation.
4. Cette équation est définie pour x > -1 et x > 1 c’est à dire sur l’intervalle D = \left]1 ; +\infty \right[.
   \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x-1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(\left(x+1\right)\left(x-1\right)\right)=1
   \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x-1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(x^{2}-1\right)=1
   \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x-1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2}-1=e
   \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x-1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2}=e+1
   \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x-1\right)=1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e+1} ou x=-\sqrt{e+1}
   La valeur -\sqrt{e+1} est négative donc n’appartient pas à D.
   L’équation a donc pour unique solution x=\sqrt{e+1}