Somme de puissances et congruences

Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $2^{n +4}+3^{3n+2}$ est divisible par $25$ .

Corrigé

L'astuce consiste à remarquer que

3^3=27

est congru à

2

modulo

25

et à se ramener à des puissances de

2

3^3 = 27 \equiv 2 \ (\text{mod.}\ 25)

Par conséquent, en élevant chaque membre à la puissance $n$ :

$3^{3n} \equiv 2^n \ (\text{mod.}\ 25)$

Et en multipliant par $3^2$ :

$3^{3n} \times 3^2 \equiv 2^n \times 3^2 \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} \equiv 9 \times 2^n\ (\text{mod.}\ 25)$

Il suffit maintenant d'ajouter $2^{n +4}$ à chaque membre :

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n +4} \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 2^4 \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 16 \ (\text{mod.}\ 25)$

$3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 25 \times 2^n \ (\text{mod.}\ 25)$

Et comme $25 \times 2^n$ est divisible par $25$ , $2^{n +4}+3^{3n+2}$ l'est aussi.