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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Congruences - Puissances de 2 et de 3

Dans cet exercice, on recherche s'il existe des valeurs de l'entier naturel [latex]n[/latex] pour lesquelles [latex]n^2+9[/latex] est une puissance de [latex]2[/latex] ou une puissance de [latex]3[/latex].

Partie A

Soient deux entiers naturels [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] tels que [latex]n^2+9=2^m[/latex].
  1. Justifier que [latex]m[/latex] est nécessairement supérieur ou égal à [latex]4[/latex] et que [latex]n[/latex] est impair.
  2. Montrer qu'alors [latex]n^2 \equiv 3 [/latex] (mod. [latex]4[/latex])
  3. Compléter le tableau : [table class="compact"][latex]n \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})[/latex] | [latex]\qquad 0 \qquad[/latex] | [latex]\qquad 1 \qquad[/latex] | [latex]\qquad 2 \qquad[/latex] | [latex]\qquad 3 \qquad[/latex] [latex]n^2 \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})[/latex] | | | | [/table]
  4. Existe-t-il des valeurs de [latex]n[/latex] pour lesquelles [latex]n^2+9[/latex] est une puissance de [latex]2[/latex] ?

Partie B

Soient deux entiers naturels [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] tels que [latex]n^2+9=3^m[/latex].
  1. Justifier que [latex]m[/latex] est nécessairement supérieur ou égal à [latex]2[/latex] et que [latex]n[/latex] est pair.
  2. Montrer qu'alors [latex](-1)^m \equiv 1 [/latex] (mod. [latex]4[/latex]). Que peut-on en déduire sur la parité de [latex]m[/latex] ?
  3. On pose [latex]m=2k[/latex]. Montrer que [latex](3^k-n)(3^k+n)=9[/latex]
  4. Existe-t-il des valeurs de [latex]n[/latex] pour lesquelles [latex]n^2+9[/latex] est une puissance de [latex]3[/latex] ?