Congruences - Puissances de 2 et de 3
Dans cet exercice, on recherche s'il existe des valeurs de l'entier naturel [latex]n[/latex] pour lesquelles [latex]n^2+9[/latex] est une puissance de [latex]2[/latex] ou une puissance de [latex]3[/latex].
Partie A
Soient deux entiers naturels [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] tels que [latex]n^2+9=2^m[/latex].
- Justifier que [latex]m[/latex] est nécessairement supérieur ou égal à [latex]4[/latex] et que [latex]n[/latex] est impair.
- Montrer qu'alors [latex]n^2 \equiv 3 [/latex] (mod. [latex]4[/latex])
- Compléter le tableau :
[table class="compact"][latex]n \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})[/latex] | [latex]\qquad 0 \qquad[/latex] | [latex]\qquad 1 \qquad[/latex] | [latex]\qquad 2 \qquad[/latex] | [latex]\qquad 3 \qquad[/latex]
[latex]n^2 \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})[/latex] | | | | [/table]
- Existe-t-il des valeurs de [latex]n[/latex] pour lesquelles [latex]n^2+9[/latex] est une puissance de [latex]2[/latex] ?
Partie B
Soient deux entiers naturels [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] tels que [latex]n^2+9=3^m[/latex].
- Justifier que [latex]m[/latex] est nécessairement supérieur ou égal à [latex]2[/latex] et que [latex]n[/latex] est pair.
- Montrer qu'alors [latex](-1)^m \equiv 1 [/latex] (mod. [latex]4[/latex]).
Que peut-on en déduire sur la parité de [latex]m[/latex] ?
- On pose [latex]m=2k[/latex].
Montrer que [latex](3^k-n)(3^k+n)=9[/latex]
- Existe-t-il des valeurs de [latex]n[/latex] pour lesquelles [latex]n^2+9[/latex] est une puissance de [latex]3[/latex] ?
