Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Congruences - Puissances de 2 et de 3

Dans cet exercice, on recherche s'il existe des valeurs de l'entier naturel nn pour lesquelles n2+9n^2+9 est une puissance de 22 ou une puissance de 33.

Partie A

Soient deux entiers naturels nn et mm tels que n2+9=2mn^2+9=2^m.

  1. Justifier que mm est nécessairement supérieur ou égal à 44 et que nn est impair.

  2. Montrer qu'alors n2≡3n^2 \equiv 3 (mod. 44)

  3. Compléter le tableau :

    n≡  (mod. 4)n \equiv \ \ (\text{mod. 4}) 0 1 2 3
    n2≡  (mod. 4)n^2 \equiv \ \ (\text{mod. 4}) ⋯ \cdots ⋯ \cdots ⋯ \cdots ⋯ \cdots

  4. Existe-t-il des valeurs de nn pour lesquelles n2+9n^2+9 est une puissance de 22 ?

Partie B

Soient deux entiers naturels nn et mm tels que n2+9=3mn^2+9=3^m.

  1. Justifier que mm est nécessairement supérieur ou égal à 22 et que nn est pair.

  2. Montrer qu'alors (−1)m≡1( - 1)^m \equiv 1 (mod. 44).
    Que peut-on en déduire sur la parité de mm ?

  3. On pose m=2km=2k.
    Montrer que (3k−n)(3k+n)=9(3^k - n)(3^k+n)=9

  4. Existe-t-il des valeurs de nn pour lesquelles n2+9n^2+9 est une puissance de 33 ?

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

Méthodes