Puisque le reste de la division euclidienne de $n$ par $12$ est $7$, il existe un entier naturel $q$ tel que :

$n=12q+7$

C'est à dire :

$n=3\times 4q+7$

Toutefois on ne peut pas en déduire que le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$ est $7$ puisque $7\geqslant 3$. Mais $7=3\times 2+1$ donc :

$n=3\times 4q+3\times 2+1=3\left(4q+2\right)+1$

Cette fois on obtient bien une formule du type $n=bq^{\prime}+r^{\prime}$ avec $q^{\prime}=4q+2$ et $r^{\prime}=1 < 3$.

Le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$ est donc $1$.

De même :

$n=4\times 3q+7=4\times 3q+4\times 1+3=4\left(3q+1\right)+3$

Le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$ est donc $3$.

Le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$ étant $3$, il existe un entier naturel $k$ tel que :

$n=4k+3$(1)

On voudrait maintenant obtenir une expression de la forme $n=12q+r$, il va donc falloir remplacer $k$ par $3q+\cdots$ dans (1).
D'où l'idée de diviser $k$ par $3$...

On raisonne alors par disjonction de cas :

• Si le reste de la division euclidienne de $k$ par 3 est 0, alors :

  $k=3q$

  donc $n=4\times 3q+3=12q+3$.

  Le reste de la division euclidienne de $n$ par $12$ est donc $3$.

• Si le reste de la division euclidienne de $k$ par 3 est 1, alors :

  $k=3q+1$

  donc $n=4\times \left(3q+1\right)+3=12q+7$.

  Le reste de la division euclidienne de $n$ par $12$ est alors $7$.

• Si le reste de la division euclidienne de $k$ par 3 est 2, alors :

  $k=3q+2$

  donc $n=4\times \left(3q+2\right)+3=12q+11$.

  Dans ce cas, le reste de la division euclidienne de $n$ par $12$ est $11$.

Comme il n'y a pas d'autres possibilités, le reste de la division euclidienne de $n$ par $12$ est soit $3$, soit $7$, soit $11$.