Solutions entières d'équations
Trouver tous les entiers naturels m et n tels que m2−n2=24
L'équation m2−n2=24 peut s'écrire (m−n)(m+n)=24.
Cela entraîne que m−n et m+n divisent 24.
Or les diviseurs de 24 sont 1;2;3;4;6;8;12;24.
Si m−n=1 et m+n=24 alors, en additionnant membre à membre ces deux égalités, 2m=25. Cette équation n'a pas de solution dans N
Si m−n=2 et m+n=12 alors 2m=14 donc m=7 et n=12−m=5. Le couple (m;n)=(7;5) est donc une solution.
Si m−n=3 et m+n=8 alors 2m=11 qui n'a pas de solution dans N
Si m−n=4 et m+n=6 alors 2m=10 donc m=5 et n=6−m=1. Le couple (m;n)=(5;1) est donc une solution.
Les autres possibilités ne peuvent fournir de solutions puisque, m et n étant des entiers naturels, m+n doit être supérieur à m−n.
Finalement, les couples d'entiers naturels (m;n) tels que m2−n2=24 sont (7;5) et (5;1).
