Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Division euclidienne d'entiers négatifs

  1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par 121

  2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121

  3. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121

Corrigé

  1. On commence par effectuer (en la posant comme au primaire...) la division euclidienne de 1564 par 121.

    Le quotient est 1212 et le reste 112112.

    Donc :

    1564=121×12+1121564 = 121\times 12+112

    Par conséquent : 1564=121×12112 - 1564 = - 121\times 12 - 112

    Mais -112 ne peut être le reste de la division euclidienne de -1564 par 121 car il n'est pas positif ou nul.

    L'astuce consiste alors à écrire 112=121-9 donc :

    1564=121×12121+9 - 1564 = - 121\times 12 - 121+9

    et en mettant 121 en facteur :

    1564=121×(12+1)+9=121×13+9=121×(13)+9 - 1564 = - 121\times \left(12+1\right)+9= - 121\times 13+9=121\times \left( - 13\right)+9 et on a bien 09<1210\leqslant 9 < 121

    Le quotient de la division euclidienne de -1564 par 121 est donc -13 et le reste 9.

  2. 1564=121×12+1121564 = 121\times 12+112, donc :

    1564=121×(12)+1121564 = - 121\times \left( - 12\right)+112 et 112112 est bien le reste puisque 0112<1210\leqslant 112 < | - 121|

    Le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121 sont donc respectivement -12 et 112

  3. On utilise le résultat du 1. 1564=121×13+9 - 1564 = - 121\times 13+9

    Comme 09<1210\leqslant 9 < | - 121|, le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121 sont donc respectivement 13 et 9.