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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Polynômes et équations du second degré

1. Fonctions polynômes

Définition

Une fonction PP est une fonction polynôme si elle est définie sur R\mathbb{R} et si on peut l'écrire sous la forme :

P(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}

Remarques

  • par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.

  • les nombres aia_{i} s'appellent les coefficients du polynôme.

Définition (Degré d'un polynôme)

Si P(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0} (où le coefficient an a_n est non nul), on dit que PP est une fonction polynôme de degré nn.

Cas particuliers

  • la fonction nulle n'a pas de degré.

  • une fonction constante non nulle définie par f(x)=af\left(x\right)=a avec a0a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 0.

  • une fonction affine f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b avec a0a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 1.

Propriété

Le produit d'un polynôme de degré nn par un polynôme de degré mm est un polynôme de degré m+nm+n.

Remarque

Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de P+Q P+Q est inférieur ou égal à la fois au degré de PP et au degré de QQ.

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Cas particulier

PP est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Définition

On dit que aRa \in \mathbb{R} est une racine du polynôme PP si et seulement si P(a)=0P\left(a\right)=0.

Exemple

11 est racine du polynôme P(x)=x32x+1P\left(x\right)=x^{3} - 2x+1 car P(1)=0P\left(1\right)=0

Théorème

Si PP est un polynôme de degré n1n\geqslant 1 et si aa est une racine de PP alors P(x)P\left(x\right) peut s'écrire sous la forme :

P(x)=(xa)Q(x)P\left(x\right)=\left(x - a\right)Q\left(x\right)

QQ est un polynôme de degré n1n - 1.

2. Fonctions polynômes du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :

P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+c

aa, bb et cc sont des réels avec a0a \neq 0.

Exemples

  • P(x)=2x2+3x5P\left(x\right)=2x^{2}+3x - 5 est un polynôme du second degré.

  • P(x)=x21P\left(x\right)=x^{2} - 1 est un polynôme du second degré avec b=0b=0 mais Q(x)=x1Q\left(x\right)=x - 1 n'en est pas un car aa n'est pas différent de zéro (c'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine).

  • P(x)=5(x1)(32x)P\left(x\right)=5\left(x - 1\right)\left(3 - 2x\right) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+c peut s'écrire sous la forme :

P(x)=a(xα)2+βP\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+ \beta

avec α=b2a\alpha = - \frac{b}{2a} et β=P(α)\beta =P\left(\alpha \right).

Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme PP.

Définition

Le nombre Δ=b24ac\Delta =b^{2} - 4ac s'appelle le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c.

Propriété (Racines d'un polynôme du second degré)

L'équation ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 :

  • n'a aucune solution réelle si Δ<0\Delta < 0 ;

  • a une solution unique x0=α=b2ax_{0}=\alpha = - \frac{b}{2a} si Δ=0\Delta =0 ;

  • a deux solutions x1=b+Δ2ax_{1}=\frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} et x2=bΔ2ax_{2}=\frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} si Δ>0\Delta > 0.

Exemples

  • P1(x)=x2+3x2P_{1}\left(x\right)= - x^{2}+3x - 2 :

    Δ=94×(1)×(2)=1\Delta =9 - 4\times \left( - 1\right)\times \left( - 2\right)=1.

    P1P_{1} possède 2 racines :

    x1=312=2x_{1}=\frac{ - 3 - 1}{ - 2}=2 et x2=3+12=1x_{2}=\frac{ - 3+1}{ - 2}=1

  • P2(x)=x24x+4P_{2}\left(x\right)=x^{2} - 4x+4 :

    Δ=164×1×4=0\Delta =16 - 4\times 1\times 4=0.

    P2P_{2} possède une seule racine :

    x0=42=2x_{0}= - \frac{ - 4}{2}=2.

  • P3(x)=x2+x+1P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1 :

    Δ=14×1×1=3\Delta =1 - 4\times 1\times 1= - 3.

    P3P_{3} ne possède aucune racine.

Propriété (Somme et produit des racines)

Soit un polynôme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+c dont le discriminant est strictement positif.

  • La somme des racines vaut x1+x2=bax_{1}+x_{2}= - \frac{b}{a}.

  • Le produit des racines vaut x1x2=cax_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.

Remarque

Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente".

Par exemple l'équation x24x+3=0x^{2} - 4x+3=0 admet x1=1x_{1}=1 comme racine puisque 124×1+3=01^{2} - 4\times 1+3=0 ; comme x1×x2=ca=3x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=3 l'autre racine est x2=3x_{2}=3 .

Propriété (Signe d'un polynôme du second degré)

Le polynôme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+c :

  • est toujours du signe de aa si Δ<0\Delta < 0 ;

  • est toujours du signe de aa mais s'annule en x0=α=b2ax_{0}=\alpha = - \frac{b}{2a} si Δ=0\Delta =0 ;

  • est du signe de aa « à l'extérieur des racines » (c'est à dire sur ] ;x1[]x2;+[\left] - \infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[) et du signe opposé « entre les racines » ( sur ]x1;x2[\left]x_{1}; x_{2}\right[).

Remarque

Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de PP de la façon suivante :

  • Si Δ>0\Delta > 0 : P(x)P\left(x\right) est du signe de aa à l'extérieur des racines (c'est à dire si x<x1x < x_{1} ou x>x2x > x_{2} ) et du signe opposé entre les racines (si x1<x<x2x_{1} < x < x_{2}).

    Tableau de signe plynôme du second degré delta positif

  • Si Δ=0\Delta =0 : P(x)P\left(x\right) est toujours du signe de aa sauf en x0x_{0} (où il s'annule).

    Tableau de signe plynôme du second degré delta nul

  • Si Δ<0\Delta < 0 : P(x)P\left(x\right) est toujours du signe de aa.

    Tableau de signe plynôme du second degré delta négatif

Exemples

Si l'on reprend les exemples précédents :

  • P1(x)=x2+3x2P_{1}\left(x\right)= - x^{2}+3x - 2 :

    Δ>0\Delta > 0 et a<0a < 0.

    Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta positif

  • P2(x)=x24x+4P_{2}\left(x\right)=x^{2} - 4x+4 :

    Δ=0\Delta =0 et a>0a > 0.

    Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta nul

  • P3(x)=x2+x+1P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1 :

    Δ<0\Delta < 0 et a>0a > 0.

    Exemple tableau de signe plynôme du second degré delta négatif

On rappelle que les solutions de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe CfC_{f} et de l'axe des abscisses.

En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :

Différentes paraboles