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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et algèbre

1. Ensemble des nombres complexes

Théorème et Définition

On admet qu'il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté C\mathbb{C} tel que:

  • C\mathbb{C} contient R\mathbb{R}

  • C\mathbb{C} est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de R\mathbb{R}

  • C\mathbb{C} contient un nombre noté ii tel que i2=1i^{2}= - 1

  • Chaque élément zz de C\mathbb{C} s'écrit de manière unique sous la forme z=a+ibz=a+ibaa et bb sont deux réels.

Exemple

5+12i\sqrt{5}+\frac{1}{2}i , 3i 3i et 2 \sqrt{2} sont des nombres complexes (2\sqrt{2} est un nombre réel mais comme RC\mathbb{R}\subset\mathbb{C} c'est aussi un nombre complexe !)

Remarque

Attention : On définit une addition et une multiplication sur C\mathbb{C} mais on ne définit pas de relation d'ordre (comme \leqslant ). En effet il n'est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur R\mathbb{R} et possède les même propriétés que dans R\mathbb{R}.

Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme z<zz < z^{\prime}, si zz et zz^{\prime} sont des nombres complexes non réels !

Définitions

  • L'écriture z=a+ib z = a+ib est appelée la forme algébrique du nombre complexe zz.

  • Le nombre réel aa s'appelle la partie réelle du nombre complexe zz.

  • Le nombre réel bb s'appelle la partie imaginaire du nombre complexe zz.

  • Si la partie réelle de zz est nulle (c'est à dire a=0a=0 et z=biz=bi), on dit que zz est un imaginaire pur .

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Remarques

  • Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de C\mathbb{C} s'écrit de manière unique sous la forme z=a+ibz=a+ib.

  • En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.

2. Conjugué

Définition

Soit zz le nombre complexe z=a+ibz=a+ib.On appelle conjugué de zz, le nombre complexe

z=aib\overline{z}=a - ib.

Exemple

Soit z=3+4iz=3+4i

Le conjugué de zz est z=34i\overline{z}=3 - 4i.

Propriétés des conjugués

Pour tous nombres complexes zz et zz^{\prime} et tout entier naturel nn :

  • z+z=z+z\overline{z+z^{\prime}} = \overline{z}+\overline{z}^{\prime}

  • zz=z×z\overline{zz^{\prime}} = \overline{z}\times \overline{z}^{\prime}

  • (zz)=zz\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} pour z0z^{\prime}\neq 0

  • (zn)=(z)n\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}.

Remarques

  • Par contre, en général, z+z|z+z^{\prime}| n'est pas égal à z+z|z|+|z^{\prime}|. On peut juste montrer que z+zz+z|z+z^{\prime}| \leqslant |z|+|z^{\prime}| (inégalité triangulaire) ;

  • ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.

3. Équation du second degré à coefficients réels

Propriété

Soient aa, bb, cc trois réels avec a0a\neq 0.

Dans C\mathbb{C}, l'équation az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 admet toujours au moins une solution.

Plus précisément, si on note Δ\Delta son discriminant (Δ=b24ac\Delta =b^{2} - 4ac) :

  • Si Δ>0\Delta > 0, l'équation possède deux solutions réelles :

    z1=bΔ2az_{1}=\frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} et z2=b+Δ2a z_{2}=\frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a}

  • Si Δ=0\Delta = 0, l'équation possède une solution réelle :

    z=b2az=\frac{ - b}{2a}

  • Si Δ<0\Delta < 0, l'équation possède deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre :

    z1=biΔ2az_{1}=\frac{ - b - i\sqrt{ - \Delta }}{2a} et z2=b+iΔ2a z_{2}=\frac{ - b+i\sqrt{ - \Delta }}{2a}.

Exemple

Soit à résoudre l'équation z2+2z+2=0z^{2}+2z+2=0 dans C\mathbb{C}

Δ=48=4\Delta =4 - 8= - 4

Δ<0\Delta < 0 donc l'équation admet 2 racines complexes conjuguées :

z1=2i42=1iz_{1}=\frac{ - 2 - i\sqrt{4}}{2}= - 1 - i et z2=2+i42=1+i z_{2}=\frac{ - 2+i\sqrt{4}}{2}= - 1+i.