Nombres complexes et algèbre
1. Ensemble des nombres complexes
Théorème et Définition
On admet qu'il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté tel que:
contient
est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de
contient un nombre noté tel que
Chaque élément de s'écrit de manière unique sous la forme où et sont deux réels.
Exemple
, et sont des nombres complexes ( est un nombre réel mais comme c'est aussi un nombre complexe !)
Remarque
Attention : On définit une addition et une multiplication sur mais on ne définit pas de relation d'ordre (comme ). En effet il n'est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur et possède les même propriétés que dans .
Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme , si et sont des nombres complexes non réels !
Définitions
L'écriture est appelée la forme algébrique du nombre complexe .
Le nombre réel s'appelle la partie réelle du nombre complexe .
Le nombre réel s'appelle la partie imaginaire du nombre complexe .
Si la partie réelle de est nulle (c'est à dire et ), on dit que est un imaginaire pur .
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Remarques
Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de s'écrit de manière unique sous la forme .
En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
2. Conjugué
Définition
Soit le nombre complexe .On appelle conjugué de , le nombre complexe
.
Exemple
Soit
Le conjugué de est .
Propriétés des conjugués
Pour tous nombres complexes et et tout entier naturel :
pour
.
Remarques
Par contre, en général, n'est pas égal à . On peut juste montrer que (inégalité triangulaire) ;
ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.
3. Équation du second degré à coefficients réels
Propriété
Soient , , trois réels avec .
Dans , l'équation admet toujours au moins une solution.
Plus précisément, si on note son discriminant () :
Si , l'équation possède deux solutions réelles :
et
Si , l'équation possède une solution réelle :
Si , l'équation possède deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre :
et .
Exemple
Soit à résoudre l'équation dans
donc l'équation admet 2 racines complexes conjuguées :
et .