Les nombres complexes ont été explorés dès le 16ème siècle par des mathématiciens tels que Gerolamo Cardano, dans le cadre de la recherche de solutions aux équations du 3e degré.

Initialement reçus avec scepticisme en raison de leur composante de racine carrée négative, ils ont progressivement gagné en acceptation grâce aux contributions de mathématiciens tels qu'Euler et Gauss. Ces derniers ont non seulement formalisé leur utilisation mais ont aussi contribué à leur acceptation en tant que concept légitime en mathématiques.

Un nombre complexe est composé de deux parties:

1. La partie réelle : un nombre réel.

2. La partie imaginaire : un autre nombre réel, multiplié par l'unité imaginaire $\mathrm{i}$, où $\mathrm{i}^2 = - 1$.

Ces nombres sont généralement représentés sous la forme algébrique :

où $a$ est la partie réelle, $b$ est la partie imaginaire, et $\mathrm{i}$ est l'unité imaginaire.

Opérations sur les nombres complexes

Addition

L'addition de deux nombres complexes s'effectue en additionnant leurs parties réelles et imaginaires respectivement. Par exemple, l'addition de $(2 + 3\mathrm{i})$ et $(1 + 2\mathrm{i})$ donne :

Multiplication

La multiplication nécessite souvent l'utilisation de la propriété $\mathrm{i}^2 = - 1$. Multiplier $(2 + 3\mathrm{i})$ par $(1 + 2\mathrm{i})$ donne :

Conjugaison

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + b\mathrm{i}$ est noté $\overline{z}$ et est défini par :

Pour l'exemple $z = 3 + 4\mathrm{i}$, le conjugué serait $\overline{z} = 3 - 4\mathrm{i}$.

Cette opération est utile pour les divisions de nombres complexes, car elle permet d'éliminer la partie imaginaire du dénominateur.

Représentation géométrique des nombres complexes

En plus de leur représentation algébrique, les nombres complexes peuvent être représentés géométriquement dans le plan complexe. Ce plan est similaire à un plan cartésien standard, avec l'axe réel horizontal et l'axe imaginaire vertical.

Un nombre complexe $z = a + b\mathrm{i}$ peut être représenté par le point de coordonnées $(a, b)$ dans ce plan. Cette représentation permet de visualiser graphiquement des opérations comme l'addition et la multiplication, et fait le lien entre calculs vectoriels et calculs dans l'ensemble des nombres complexes.