Graphiques – signes – variations

Durée estimée

30 minutes

Difficulté

Le graphique ci-dessous reproduit les courbes représentatives $ (C_f) $ et $ (C_g) $ de deux fonctions $ f $ et $ g $.

Quels sont les ensembles de définition des fonctions $ f $ et $ g $ ? (On considèrera qu'il s'agit d'intervalles fermés)
Déterminer graphiquement :
- l'image de $ 4 $ par $ f $
- l'image de $ -4 $ par $ f $
- l'image de $ -8 $ par $ g $
Résoudre graphiquement les inéquations :
- $ f(x) < 4 $
- $ f(x) \geqslant 0 $
- $ f(x) \geqslant g(x) $
Donner les maximum et minimum des fonctions $ f $ et $ g $. Pour quelles valeurs de $ x $ sont-ils atteints ?
À quel intervalle appartient $ f(x) $ si $ x $ appartient à l'intervalle $ [-4 ; 4] $ ?
Construire les tableaux de variation des fonctions $ f $ et $ g $.
Construire les tableaux de signes des fonctions $ f $ et $ g $.
Soit la fonction $ h $ définie sur l'intervalle $ [-8 ; 11] $ par $ h(x) = f(x) \times g(x) $.

Construire le tableau de signes de la fonction $ h $.

Corrigé

1. Ensembles de définition

Par lecture graphique, les courbes sont tracées sur les intervalles suivants :
$\mathscr D_f = [-8 ; 11]$ et $\mathscr D_g = [-8 ; 15]$

2. Images

3. Résolution graphique des inéquations

$f(x) < 4$ : on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est strictement en dessous de la droite $y = 4$. On obtient $S = \left]-4 ; 11\right]$.
$f(x) \geqslant 0$ : on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses ou sur celui-ci. On obtient $S = [-8 ; 6]$.
$f(x) \geqslant g(x)$ : on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ ou confondue avec elle. On obtient $S = [-8 ; -4] \cup [0 ; 8]$.

4. Extremums

Minimums :