Tableau de variations et extremums

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ - 1~;~8]$ dont la courbe représentative est tracée ci-dessous :

courbe variations seconde

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .
Déterminer le maximum et le minimum de $f$ . Pour quelles valeurs de $x$ ces extremums sont-ils atteints ?
Pour chacune des questions ci-dessous, indiquer si l'affirmation est juste ou fausse. Justifier.
1. Pour tout $x \in [ - 1~;~8]$ , $f(x) \geqslant - 3$
2. Pour tout $x \in [ - 1~;~8]$ , $f(x) \leqslant 4$
3. Pour tout $x \in [1~;~4]$ , $f(x) \leqslant 0$
4. Pour tout $x \in [ - 1~;~2]$ , $f(x) \geqslant 0$

Corrigé

Solution rédigée par Abi.

Dresser le tableau de variations de la fonction f

$tableau de variations de la fonction$
Déterminer le maximum et le minimum de f. Pour quelles valeurs de x ces extremums sont-ils atteints ?

Le maximum de f est 5. Il est atteint pour x=1.

Le minimum de f est -3. Il est atteint pour x=8.
Pour chacune des questions ci-dessous, indiquer si l'affirmation est juste ou fausse. Justifier.

a) Pour tout $x \in [ - 1~;~8]$ , $f(x) \geqslant - 3$ : VRAI car sur cet intervalle, tous les minimums locaux de Cf sont situés à f(4) = -2 pour l'un et à f(8) = -3 pour le deuxième; avec f(-1) = 2 tous les x de cet intervalle ont une image supérieure ou égale à -3

b) Pour tout $x \in [ - 1~;~8]$ , $f(x) \leqslant 4$ : FAUX : car f(1) = 5 > 4

c) Pour tout $x \in [1~;~4]$ , $f(x) \leqslant 0$ : FAUX : car f(1) = 5 > 0

d) Pour tout $x \in [ - 1~;~2]$ , $f(x) \geqslant 0$ : VRAI car tous les x de cet intervalle ont une image située au-dessus de l'axe des abscisses sur le plan.