Méthode
1ère étape : (facultative mais permet de simplifier les calculs) :
Rechercher l'équation dans laquelle il sera facile d'exprimer y en fonction de x, ou x en fonction de y.
On supposera, dans l'explication qui suit, que l'on a choisi d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.2ème étape :
Dans la première équation, exprimer y en fonction de x.
Ne pas modifier la seconde équation.3ème étape :
Remplacer y par l'expression trouvée précédemment dans la seconde équation.
La seconde équation n'a alors plus qu'une seule inconnue x.4ème étape :
Résoudre la seconde équation pour trouver x.5ème étape :
Calculer y en remplaçant x, dans la première équation, par la valeur trouvée à l'étape précédente.6ème étape :
Conclure en précisant la ou les couple(s) de solution(s).
Remarques
Pour présenter les calculs, il est préférable de recopier à chaque étape un système équivalent au système de départ en réécrivant les deux équations, y compris celle que l'on n'a pas modifiée.
Un système admet souvent un unique couple solution mais peut aussi n'avoir aucune solution ou admettre une infinité de solutions (voir exemple 3 et 4).
Exemple 1
Résoudre le système :
(S_1)~~\begin{cases} 3x+y=2 \\ 5x+2y=3\end{cases}
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On remarque qu'ici, il sera particulièrement simple d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.
2ème étape : Expression de y en fonction de x.
Il suffit de « faire passer » 3x dans l'autre membre dans la première équation ;
on recopie la seconde équation sans y toucher.(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ 5x+2y=3\end{cases}
3ème étape : Remplacement de y.
On remplace y par (2-3x) dans la seconde équation (ne pas oublier la parenthèse !).
On ne touche pas à la première équation.(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ 5x+2(2-3x)=3\end{cases}
4ème étape : Calcul de x.
On résout la seconde équation (en recopiant à chaque fois la première à l'identique).
(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ 5x+4-6x=3\end{cases}
(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ -x=3-4\end{cases}
(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ x=1\end{cases}
5ème étape : Calcul de y.
On remplace x par 1 dans la première équation :
(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3\times 1\\ x=1\end{cases}
(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-1\\ x=1\end{cases}
6ème étape : Conclusion.
Le couple (1~;~-1) est l'unique couple solution du système (S_1).
Exemple 2
Résoudre le système :
(S_1)~~\begin{cases} 5x-2y=1 \\ x+3y=7\end{cases}
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On pourrait, comme dans l'exemple précédent, exprimer y en fonction de x dans la première équation. Toutefois, à cause du coefficient -2, cela entraînerait des calculs plus longs comportant des fractions (on trouverait y=\dfrac{-1+5x}{2}).
Il est plus simple, ici, d'exprimer x en fonction de y dans la deuxième équation.
2ème étape : Expression de x en fonction de y.
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5x-2y=1 \\ x=7-3y\end{cases}
3ème étape : Remplacement de x.
On remplace x par (7-3y) dans la première équation.
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5(7-3y)-2y=1 \\ x=7-3y\end{cases}
4ème étape : Calcul de y.
On résout la première équation.
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 35-15y-2y=1 \\ x=7-3y\end{cases}
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} -17y=-34 \\ x=7-3y\end{cases}
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=\dfrac{-34}{-17} \\ x=7-3y\end{cases}
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7-3y\end{cases}
5ème étape : Calcul de x.
On remplace y par 2 dans la seconde équation :
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7-3 \times 2\end{cases}
(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=1\end{cases}
6ème étape : Conclusion.
Le couple (1~;~2) est l'unique solution du système (S_2).
Exemple 3
Résoudre le système :
(S_3)~~\begin{cases} 6x-2y=3 \\ -3x+y=5\end{cases}
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
Ici, il est facile d'exprimer y en fonction de x dans la seconde équation.
2ème étape : Expression de y en fonction de x.
(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x-2y=3 \\ y=5+3x\end{cases}
3ème étape : Remplacement de y.
(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x-2(5+3x)=3 \\ y=5+3x\end{cases}
4ème étape : Calcul de x.
(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x-10-6x=3 \\ y=5+3x\end{cases}
(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} -10=3 \\ y=5+3x\end{cases}
La première équation n'a pas de solution, donc le système n'en a pas non plus.
On peut donc passer directement à la conclusion :
6ème étape : Conclusion.
Le système (S_3) n'admet aucune solution dans \mathbb{R}.
Exemple 4
Résoudre le système :
(S_4)~~\begin{cases} 4x-2y=6 \\ -6x+3y=-9\end{cases}
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On choisit d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.
2ème étape : Expression de y en fonction de x.
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}-2y=6 -4x\\ -6x+3y=-9\end{cases}
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}2y=-6 +4x\\ -6x+3y=-9\end{cases}
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{-6 +4x}{2}\\ -6x+3y=-9\end{cases}
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{-6}{2} +\dfrac{4x}{2}\\ -6x+3y=-9\end{cases}
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=-3+2x\\ -6x+3y=-9\end{cases}
3ème étape : Remplacement de y.
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-3+2x\\ -6x+3(-3+2x)=-9\end{cases}
4ème étape : Calcul de x.
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-3+2x\\ -6x-9+6x=-9\end{cases}
(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-3+2x\\ -9=-9\end{cases}
La deuxième équation est toujours vérifiée. Il suffit donc qu'un couple soit solution de la première équation y=-3+2x pour qu'il soit solution du système.
Or, cette équation possède une infinité de solutions (par exemple (0~;~-3), (1~;~-1), etc.).
On peut donc sauter la cinquième étape et passer à la conclusion.
6ème étape : Conclusion.
Le système (S_4) admet une infinité de solutions dans \mathbb{R}.
