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Seconde

Méthode

Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues (par substitution)

Méthode

  • 1ère étape : (facultative mais permet de simplifier les calculs) :
    Rechercher l'équation dans laquelle il sera facile d'exprimer y en fonction de x, ou x en fonction de y.
    On supposera, dans l'explication qui suit, que l'on a choisi d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.

  • 2ème étape :
    Dans la première équation, exprimer y en fonction de x.
    Ne pas modifier la seconde équation.

  • 3ème étape :
    Remplacer y par l'expression trouvée précédemment dans la seconde équation.
    La seconde équation n'a alors plus qu'une seule inconnue x.

  • 4ème étape :
    Résoudre la seconde équation pour trouver x.

  • 5ème étape :
    Calculer y en remplaçant x, dans la première équation, par la valeur trouvée à l'étape précédente.

  • 6ème étape :
    Conclure en précisant la ou les couple(s) de solution(s).

Remarques

  • Pour présenter les calculs, il est préférable de recopier à chaque étape un système équivalent au système de départ en réécrivant les deux équations, y compris celle que l'on n'a pas modifiée.

  • Un système admet souvent un unique couple solution mais peut aussi n'avoir aucune solution ou admettre une infinité de solutions (voir exemple 3 et 4).

Exemple 1

Résoudre le système :

(S_1)~~\begin{cases} 3x+y=2 \\ 5x+2y=3\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    On remarque qu'ici, il sera particulièrement simple d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.

  • 2ème étape : Expression de y en fonction de x.

    Il suffit de « faire passer » 3x dans l'autre membre dans la première équation ;
    on recopie la seconde équation sans y toucher.

    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ 5x+2y=3\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de y.

    On remplace y par (2-3x) dans la seconde équation (ne pas oublier la parenthèse !).
    On ne touche pas à la première équation.

    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ 5x+2(2-3x)=3\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de x.

    On résout la seconde équation (en recopiant à chaque fois la première à l'identique).

    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ 5x+4-6x=3\end{cases}
    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ -x=3-4\end{cases}
    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3x \\ x=1\end{cases}

  • 5ème étape : Calcul de y.

    On remplace x par 1 dans la première équation :

    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2-3\times 1\\ x=1\end{cases}
    (S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-1\\ x=1\end{cases}

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le couple (1~;~-1) est l'unique couple solution du système (S_1).

Exemple 2

Résoudre le système :

(S_1)~~\begin{cases} 5x-2y=1 \\ x+3y=7\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    On pourrait, comme dans l'exemple précédent, exprimer y en fonction de x dans la première équation. Toutefois, à cause du coefficient -2, cela entraînerait des calculs plus longs comportant des fractions (on trouverait y=\dfrac{-1+5x}{2}).

    Il est plus simple, ici, d'exprimer x en fonction de y dans la deuxième équation.

  • 2ème étape : Expression de x en fonction de y.

    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5x-2y=1 \\ x=7-3y\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de x.

    On remplace x par (7-3y) dans la première équation.

    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5(7-3y)-2y=1 \\ x=7-3y\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de y.

    On résout la première équation.

    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 35-15y-2y=1 \\ x=7-3y\end{cases}
    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} -17y=-34 \\ x=7-3y\end{cases}
    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=\dfrac{-34}{-17} \\ x=7-3y\end{cases}
    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7-3y\end{cases}

  • 5ème étape : Calcul de x.

    On remplace y par 2 dans la seconde équation :

    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7-3 \times 2\end{cases}
    (S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=1\end{cases}

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le couple (1~;~2) est l'unique solution du système (S_2).

Exemple 3

Résoudre le système :

(S_3)~~\begin{cases} 6x-2y=3 \\ -3x+y=5\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    Ici, il est facile d'exprimer y en fonction de x dans la seconde équation.

  • 2ème étape : Expression de y en fonction de x.

    (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x-2y=3 \\ y=5+3x\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de y.

    (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x-2(5+3x)=3 \\ y=5+3x\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de x.

    (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x-10-6x=3 \\ y=5+3x\end{cases}
    (S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} -10=3 \\ y=5+3x\end{cases}

    La première équation n'a pas de solution, donc le système n'en a pas non plus.

    On peut donc passer directement à la conclusion :

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le système (S_3) n'admet aucune solution dans \mathbb{R}.

Exemple 4

Résoudre le système :

(S_4)~~\begin{cases} 4x-2y=6 \\ -6x+3y=-9\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    On choisit d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.

  • 2ème étape : Expression de y en fonction de x.

    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}-2y=6 -4x\\ -6x+3y=-9\end{cases}
    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}2y=-6 +4x\\ -6x+3y=-9\end{cases}
    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{-6 +4x}{2}\\ -6x+3y=-9\end{cases}
    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{-6}{2} +\dfrac{4x}{2}\\ -6x+3y=-9\end{cases}
    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=-3+2x\\ -6x+3y=-9\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de y.

    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-3+2x\\ -6x+3(-3+2x)=-9\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de x.

    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-3+2x\\ -6x-9+6x=-9\end{cases}
    (S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=-3+2x\\ -9=-9\end{cases}

    La deuxième équation est toujours vérifiée. Il suffit donc qu'un couple soit solution de la première équation y=-3+2x pour qu'il soit solution du système.

    Or, cette équation possède une infinité de solutions (par exemple (0~;~-3), (1~;~-1), etc.).

    On peut donc sauter la cinquième étape et passer à la conclusion.

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le système (S_4) admet une infinité de solutions dans \mathbb{R}.

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