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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues (par substitution)

Méthode

  • 1ère étape : (facultative mais permet de simplifier les calculs) :

    Rechercher l'équation dans laquelle il sera facile d'exprimer yy en fonction de xx, ou xx en fonction de yy.

    On supposera, dans l'explication qui suit, que l'on a choisi d'exprimer yy en fonction de xx dans la première équation.

  • 2ème étape :

    Dans la première équation, exprimer yy en fonction de xx.

    Ne pas modifier la seconde équation.

  • 3ème étape :

    Remplacer yy par l'expression trouvée précédemment dans la seconde équation.

    La seconde équation n'a alors plus qu'une seule inconnue x.x.

  • 4ème étape :

    Résoudre la seconde équation pour trouver x.x.

  • 5ème étape :

    Calculer yy en remplaçant xx, dans la première équation, par la valeur trouvée à l'étape précédente.

  • 6ème étape :

    Conclure en précisant la ou les couple(s) de solution(s).

Remarques

  • Pour présenter les calculs, il est préférable de recopier à chaque étape un système équivalent au système de départ en réécrivant les deux équations, y compris celle que l'on n'a pas modifiée.

  • Un système admet souvent un unique couple solution mais peut aussi n'avoir aucune solution ou admettre une infinité de solutions (voir exemple 3 et 4).

Exemple 1

Résoudre le système :

(S1)  {3x+y=25x+2y=3(S_1)~~\begin{cases} 3x+y=2 \\ 5x+2y=3\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    On remarque qu'ici, il sera particulièrement simple d'exprimer yy en fonction de xx dans la première équation.

  • 2ème étape : Expression de yy en fonction de xx.

    Il suffit de « faire passer » 3x3x dans l'autre membre dans la première équation ;

    on recopie la seconde équation sans y toucher.

    (S1)  {y=23x5x+2y=3(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ 5x+2y=3\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de yy.

    On remplace yy par (23x)(2 - 3x) dans la seconde équation (ne pas oublier la parenthèse !).

    On ne touche pas à la première équation.

    (S1)  {y=23x5x+2(23x)=3(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ 5x+2(2 - 3x)=3\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de x.x.

    On résout la seconde équation (en recopiant à chaque fois la première à l'identique).

    (S1)  {y=23x5x+46x=3(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ 5x+4 - 6x=3\end{cases}

    (S1)  {y=23xx=34(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ - x=3 - 4\end{cases}

    (S1)  {y=23xx=1(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3x \\ x=1\end{cases}

  • 5ème étape : Calcul de y.y.

    On remplace xx par 11 dans la première équation :

    (S1)  {y=23×1x=1(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2 - 3\times 1\\ x=1\end{cases}

    (S1)  {y=1x=1(S_1)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 1\\ x=1\end{cases}

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le couple (1 ; 1)(1~;~ - 1) est l'unique couple solution du système (S1)(S_1).

Exemple 2

Résoudre le système :

(S1)  {5x2y=1x+3y=7(S_1)~~\begin{cases} 5x - 2y=1 \\ x+3y=7\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    On pourrait, comme dans l'exemple précédent, exprimer yy en fonction de xx dans la première équation. Toutefois, à cause du coefficient 2 - 2, cela entraînerait des calculs plus longs comportant des fractions (on trouverait y=1+5x2y=\dfrac{ - 1+5x}{2}).

    Il est plus simple, ici, d'exprimer xx en fonction de yy dans la deuxième équation.

  • 2ème étape : Expression de xx en fonction de yy.

    (S2)  {5x2y=1x=73y(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5x - 2y=1 \\ x=7 - 3y\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de xx.

    On remplace xx par (73y)(7 - 3y) dans la première équation.

    (S2)  {5(73y)2y=1x=73y(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 5(7 - 3y) - 2y=1 \\ x=7 - 3y\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de y.y.

    On résout la première équation.

    (S2)  {3515y2y=1x=73y(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 35 - 15y - 2y=1 \\ x=7 - 3y\end{cases}

    (S2)  {17y=34x=73y(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} - 17y= - 34 \\ x=7 - 3y\end{cases}

    (S2)  {y=3417x=73y(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=\dfrac{ - 34}{ - 17} \\ x=7 - 3y\end{cases}

    (S2)  {y=2x=73y(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7 - 3y\end{cases}

  • 5ème étape : Calcul de x.x.

    On remplace yy par 22 dans la seconde équation :

    (S2)  {y=2x=73×2(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=7 - 3 \times 2\end{cases}

    (S2)  {y=2x=1(S_2)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y=2\\ x=1\end{cases}

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le couple (1 ; 2)(1~;~2) est l'unique solution du système (S2)(S_2).

Exemple 3

Résoudre le système :

(S3)  {6x2y=33x+y=5(S_3)~~\begin{cases} 6x - 2y=3 \\ - 3x+y=5\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    Ici, il est facile d'exprimer yy en fonction de xx dans la seconde équation.

  • 2ème étape : Expression de yy en fonction de xx.

    (S3)  {6x2y=3y=5+3x(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x - 2y=3 \\ y=5+3x\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de yy.

    (S3)  {6x2(5+3x)=3y=5+3x(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x - 2(5+3x)=3 \\ y=5+3x\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de x.x.

    (S3)  {6x106x=3y=5+3x(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} 6x - 10 - 6x=3 \\ y=5+3x\end{cases}

    (S3)  {10=3y=5+3x(S_3)~\Leftrightarrow~\begin{cases} - 10=3 \\ y=5+3x\end{cases}

    La première équation n'a pas de solution, donc le système n'en a pas non plus.

    On peut donc passer directement à la conclusion :

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le système (S3)(S_3) n'admet aucune solution dans R.\mathbb{R}.

Exemple 4

Résoudre le système :

(S4)  {4x2y=66x+3y=9(S_4)~~\begin{cases} 4x - 2y=6 \\ - 6x+3y= - 9\end{cases}

Solution :

  • 1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.

    On choisit d'exprimer yy en fonction de xx dans la première équation.

  • 2ème étape : Expression de yy en fonction de xx.

    (S4)  {2y=64x6x+3y=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} - 2y=6 - 4x\\ - 6x+3y= - 9\end{cases}

    (S4)  {2y=6+4x6x+3y=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}2y= - 6 +4x\\ - 6x+3y= - 9\end{cases}

    (S4)  {y=6+4x26x+3y=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{ - 6 +4x}{2}\\ - 6x+3y= - 9\end{cases}

    (S4)  {y=62+4x26x+3y=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y=\dfrac{ - 6}{2} +\dfrac{4x}{2}\\ - 6x+3y= - 9\end{cases}

    (S4)  {y=3+2x6x+3y=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases}y= - 3+2x\\ - 6x+3y= - 9\end{cases}

  • 3ème étape : Remplacement de yy.

    (S4)  {y=3+2x6x+3(3+2x)=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 3+2x\\ - 6x+3( - 3+2x)= - 9\end{cases}

  • 4ème étape : Calcul de x.x.

    (S4)  {y=3+2x6x9+6x=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 3+2x\\ - 6x - 9+6x= - 9\end{cases}

    (S4)  {y=3+2x9=9(S_4)~\Leftrightarrow~\begin{cases} y= - 3+2x\\ - 9= - 9\end{cases}

    La deuxième équation est toujours vérifiée. Il suffit donc qu'un couple soit solution de la première équation y=3+2xy= - 3+2x pour qu'il soit solution du système.

    Or, cette équation possède une infinité de solutions (par exemple (0 ; 3)(0~;~ - 3), (1 ; 1)(1~;~ - 1), etc.).

    On peut donc sauter la cinquième étape et passer à la conclusion.

  • 6ème étape : Conclusion.

    Le système (S4)(S_4) admet une infinité de solutions dans R.\mathbb{R}.