Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues (par substitution)
Méthode
1ère étape : (facultative mais permet de simplifier les calculs) :
Rechercher l'équation dans laquelle il sera facile d'exprimer y en fonction de x, ou x en fonction de y.
On supposera, dans l'explication qui suit, que l'on a choisi d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.
2ème étape :
Dans la première équation, exprimer y en fonction de x.
Ne pas modifier la seconde équation.
3ème étape :
Remplacer y par l'expression trouvée précédemment dans la seconde équation.
La seconde équation n'a alors plus qu'une seule inconnue x.
4ème étape :
Résoudre la seconde équation pour trouver x.
5ème étape :
Calculer y en remplaçant x, dans la première équation, par la valeur trouvée à l'étape précédente.
6ème étape :
Conclure en précisant la ou les couple(s) de solution(s).
Remarques
Pour présenter les calculs, il est préférable de recopier à chaque étape un système équivalent au système de départ en réécrivant les deux équations, y compris celle que l'on n'a pas modifiée.
Un système admet souvent un unique couple solution mais peut aussi n'avoir aucune solution ou admettre une infinité de solutions (voir exemple 3 et 4).
Exemple 1
Résoudre le système :
(S1) {3x+y=25x+2y=3
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On remarque qu'ici, il sera particulièrement simple d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.
2ème étape : Expression de y en fonction de x.
Il suffit de « faire passer » 3x dans l'autre membre dans la première équation ;
on recopie la seconde équation sans y toucher.
(S1) ⇔ {y=2−3x5x+2y=3
3ème étape : Remplacement de y.
On remplace y par (2−3x) dans la seconde équation (ne pas oublier la parenthèse !).
On ne touche pas à la première équation.
(S1) ⇔ {y=2−3x5x+2(2−3x)=3
4ème étape : Calcul de x.
On résout la seconde équation (en recopiant à chaque fois la première à l'identique).
(S1) ⇔ {y=2−3x5x+4−6x=3
(S1) ⇔ {y=2−3x−x=3−4
(S1) ⇔ {y=2−3xx=1
5ème étape : Calcul de y.
On remplace x par 1 dans la première équation :
(S1) ⇔ {y=2−3×1x=1
(S1) ⇔ {y=−1x=1
6ème étape : Conclusion.
Le couple (1 ; −1) est l'unique couple solution du système (S1).
Exemple 2
Résoudre le système :
(S1) {5x−2y=1x+3y=7
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On pourrait, comme dans l'exemple précédent, exprimer y en fonction de x dans la première équation. Toutefois, à cause du coefficient −2, cela entraînerait des calculs plus longs comportant des fractions (on trouverait y=2−1+5x).
Il est plus simple, ici, d'exprimer x en fonction de y dans la deuxième équation.
2ème étape : Expression de x en fonction de y.
(S2) ⇔ {5x−2y=1x=7−3y
3ème étape : Remplacement de x.
On remplace x par (7−3y) dans la première équation.
(S2) ⇔ {5(7−3y)−2y=1x=7−3y
4ème étape : Calcul de y.
On résout la première équation.
(S2) ⇔ {35−15y−2y=1x=7−3y
(S2) ⇔ {−17y=−34x=7−3y
(S2) ⇔ ⎩⎨⎧y=−17−34x=7−3y
(S2) ⇔ {y=2x=7−3y
5ème étape : Calcul de x.
On remplace y par 2 dans la seconde équation :
(S2) ⇔ {y=2x=7−3×2
(S2) ⇔ {y=2x=1
6ème étape : Conclusion.
Le couple (1 ; 2) est l'unique solution du système (S2).
Exemple 3
Résoudre le système :
(S3) {6x−2y=3−3x+y=5
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
Ici, il est facile d'exprimer y en fonction de x dans la seconde équation.
2ème étape : Expression de y en fonction de x.
(S3) ⇔ {6x−2y=3y=5+3x
3ème étape : Remplacement de y.
(S3) ⇔ {6x−2(5+3x)=3y=5+3x
4ème étape : Calcul de x.
(S3) ⇔ {6x−10−6x=3y=5+3x
(S3) ⇔ {−10=3y=5+3x
La première équation n'a pas de solution, donc le système n'en a pas non plus.
On peut donc passer directement à la conclusion :
6ème étape : Conclusion.
Le système (S3) n'admet aucune solution dans R.
Exemple 4
Résoudre le système :
(S4) {4x−2y=6−6x+3y=−9
Solution :
1ère étape : Recherche de la méthode la plus rapide.
On choisit d'exprimer y en fonction de x dans la première équation.
2ème étape : Expression de y en fonction de x.
(S4) ⇔ {−2y=6−4x−6x+3y=−9
(S4) ⇔ {2y=−6+4x−6x+3y=−9
(S4) ⇔ ⎩⎨⎧y=2−6+4x−6x+3y=−9
(S4) ⇔ ⎩⎨⎧y=2−6+24x−6x+3y=−9
(S4) ⇔ {y=−3+2x−6x+3y=−9
3ème étape : Remplacement de y.
(S4) ⇔ {y=−3+2x−6x+3(−3+2x)=−9
4ème étape : Calcul de x.
(S4) ⇔ {y=−3+2x−6x−9+6x=−9
(S4) ⇔ {y=−3+2x−9=−9
La deuxième équation est toujours vérifiée. Il suffit donc qu'un couple soit solution de la première équation y=−3+2x pour qu'il soit solution du système.
Or, cette équation possède une infinité de solutions (par exemple (0 ; −3), (1 ; −1), etc.).
On peut donc sauter la cinquième étape et passer à la conclusion.
6ème étape : Conclusion.
Le système (S4) admet une infinité de solutions dans R.
