Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\} par :
f\left(x\right)=\frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+1
- Ecrire f\left(x\right) sous la forme d’un quotient.
- Dresser le tableau du signe de f\left(x\right).
- Résoudre l’inéquation \frac{4x^{2}-x-2}{x+1} > -1
Corrigé
- On réduit au même dénominateur :
f\left(x\right)=\frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+1=\frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}=\frac{4x^{2}-1}{x+1} - On peut factoriser le numérateur qui est une identité remarquable du type a²-b²=(a-b)(a+b)
f\left(x\right)=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x+1}
On obtient le tableau de signes suivant :x -\infty -1 -\frac{1}{2} \frac{1}{2} +\infty 2x-1 — — — 0 + 2x+1 — — 0 + 0 + x+1 — 0 + + + f(x) — + 0 — 0 + - \frac{4x^{2}-x-2}{x+1} > -1 \Leftrightarrow \frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+1 > 0 \Leftrightarrow f\left(x\right) > 0
On lit l’ensemble des solutions sur le tableau précédent:
S=\left]-1;-\frac{1}{2}\right[ \cup \left]\frac{1}{2}; +\infty \right[
