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Seconde

difficileExercice corrigé

Inéquations - Tableau de signes

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\} par :
f\left(x\right)=\frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+1

  1. Ecrire f\left(x\right) sous la forme d'un quotient.
  2. Dresser le tableau du signe de f\left(x\right).
  3. Résoudre l'inéquation \frac{4x^{2}-x-2}{x+1} > -1 

Corrigé

  1. On réduit au même dénominateur :
    f\left(x\right)=\frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+1=\frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}=\frac{4x^{2}-1}{x+1}
  2. On peut factoriser le numérateur qui est une identité remarquable du type a²-b²=(a-b)(a+b)
    f\left(x\right)=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x+1}
    On obtient le tableau de signes suivant :

    x-\infty-1-\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\infty
    2x-1 ---0+ 
    2x+1 --0+0+ 
    x+1 -0+++ 
    f(x) -+0-0+ 
  3. \frac{4x^{2}-x-2}{x+1} > -1 \Leftrightarrow \frac{4x^{2}-x-2}{x+1}+1 > 0 \Leftrightarrow f\left(x\right) > 0
    On lit l'ensemble des solutions sur le tableau précédent:
    S=\left]-1;-\frac{1}{2}\right[ \cup \left]\frac{1}{2}; +\infty \right[
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