Calcul du sinus connaissant le cosinus
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On sait que $ \cos x = \dfrac{4}{5} $
- Quelles sont les valeurs possibles de $ \sin x $ ?
Sachant, de plus, que $ 0 < x < \pi $ peut-on déterminer la valeur de $ \sin x $ ?
Corrigé
On sait que $ \left(\sin x\right)^{2}+\left(\cos x\right)^{2}=1 $
Donc :
$ \left(\sin x\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1 $
$ \left(\sin x\right)^{2}+\dfrac{16}{25}=1 $
$ \left(\sin x\right)^{2}=1 - \dfrac{16}{25} $
$ \left(\sin x\right)^{2}=\dfrac{9}{25} $
$ \sin x=\dfrac{3}{5} $ ou $ \sin x= - \dfrac{3}{5} $
Il n'est pas possible de connaître précisément la valeur de $ \sin x $. On sait juste que $ \sin x=\dfrac{3}{5} $ ou $ \sin x= - \dfrac{3}{5} $.
Pour $ 0 < x < \pi $, le point image de $x$ se situe dans le demi-plan supérieur du cercle trigonométrique (au-dessus de l'axe des abscisses). Son ordonnée est donc positive, c'est-à-dire $ \sin x > 0 $ (cf figure ci-dessous).
On élimine alors la valeur négative et on a donc $ \sin x=\dfrac{3}{5} $.