Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Équation trigonométrique (2)

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x2+5x−3=02x^{2}+5x - 3=0

  2. En déduire les solutions de l'équation cos(2x)+5cos(x)−2=0\cos\left(2x\right)+5\cos\left(x\right) - 2=0 sur R\mathbb{R}.

Corrigé

  1. Δ=b2−4ac=52−4×2×(−3)=49\Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4\times 2\times\left( - 3\right) = 49

    Le discriminant est strictement positif donc l'équation possède 2 solutions :

    x1=−5+72×2=12x_{1} = \frac{ - 5+7}{2\times 2} = \frac{1}{2}

    x2=−5−72×2=−3x_{2} = \frac{ - 5 - 7}{2\times 2} = - 3

  2. cos(2x)=2cos2(x)−1\cos\left(2x\right)=2\cos^{2}\left(x\right) - 1

    L'équation proposée est donc équivalente à :

    2cos2(x)−1+5cos(x)−2=02\cos^{2}\left(x\right) - 1+5\cos\left(x\right) - 2=0

    2cos2(x)+5cos(x)−3=02\cos^{2}\left(x\right)+5\cos\left(x\right) - 3=0 (1) On pose X=cos(x)X=\cos\left(x\right). L'équation se ramène alors à :

    2X2+5X−3=02X^{2}+5X - 3=0

    dont les solutions sont (d'après la question 1.)

    X1=12X_{1} = \frac{1}{2} et X2=−3X_{2} = - 3

    Les solutions de l'équation (1) vérifient donc :

    cos(x)=12\cos\left(x\right)=\frac{1}{2} \quad (2)
    ou
    cos(x)=−3 \cos\left(x\right)= - 3 \quad (3)

    Comme 12=cos(π3)\frac{1}{2}=\cos\left(\frac{\pi }{3}\right), l'équation (2) donne :

    cos(x)=cos(π3)\cos\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi }{3}\right)

    x=π3+2kπx=\frac{\pi }{3}+2k\pi ou x=−π3+2kπ x= - \frac{\pi }{3}+2k\pi (voir théorème du cours)

    L'équation (3) n'admet pas de solution car −3∉[−1;1] - 3 \notin \left[ - 1 ; 1\right]

    En conclusion, les solutions de l'équation proposée sont les réels de la forme x=π3+2kπx=\frac{\pi }{3}+2k\pi ou x=−π3+2kπx= - \frac{\pi }{3}+2k\pi avec k∈Zk \in \mathbb{Z}

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

Quiz