Quiz . Maths-cours

C'est vrai.

En effet on a bien $\cos \frac{ \pi }{ 3 } = \frac{ 1 }{ 2 }.$

Par ailleurs, sur $\mathbb{R}$ les solutions de l'équation $\cos \alpha = \cos \frac{ \pi }{ 3 }$ sont :

$\left\{ \begin{matrix} \alpha = \frac{ \pi }{ 3 } +2k \pi \\ \\ \alpha = - \frac{ \pi }{ 3 } +2k \pi \end{matrix} \right. \quad k \in \mathbb{Z}$

Parmi ces solutions, seule $\frac{ \pi }{ 3 }$ appartient à l'intervalle $\left[ 0~;~\pi \right].$

C'est faux.

L'équation $\cos x = 1$ possède une infinité de solutions sur $\mathbb{R}.$

Ces solutions sont les nombres de la forme $x= 2k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}.$

C'est faux.

Sur l'intervalle $\left[ 0~;~ \pi \right]$ l'unique solution de l'équation $\cos x = - \frac{ 1 }{ 2 }$ est $x = \frac{ 2 \pi }{ 3 }.$

On a alors $\sin x = \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } .$

C'est vrai.

$\sin 2x = 1$ si et seulement si :

$2x = \frac{ \pi }{ 2 } + 2k \pi$

$x = \frac{ \pi }{ 4 } + \frac{ 2 k \pi }{ 2 } = \frac{ \pi }{ 4 } +k \pi$
où $k \in \mathbb{Z}.$

C'est vrai.

Sur l'intervalle $\left[ 0~;~\pi \right]$, $\frac{ 3\pi }{ 4 }$ est l'unique solution de l'équation $\cos x = - \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }$

C'est faux.

L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est :

$S = \left\{ \frac{ \pi }{ 6 } +2k \pi~; \frac{ 5\pi }{ 6 } +2k \pi \ / \ k \in \mathbb{Z} \right\}$