Trigonométrie
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La trigonométrie étudie les liens entre les angles et les longueurs. En classe de Première, on prolonge les notions de sinus et cosinus vues au collège (dans un triangle rectangle) et en seconde, en les étendant à tout nombre réel grâce au cercle trigonométrique. On introduit aussi une nouvelle unité de mesure d'angle, le radian, mieux adaptée au calcul.
Dans tout le chapitre, le plan $ \mathscr{P} $ est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right) $. On note $ \mathscr{C} $ le cercle de centre $ O $ et de rayon $ 1 $, appelé cercle trigonométrique.
1 - Cercle trigonométrique et radian
Radian
Un radian (noté $ \text{rad} $) est la mesure de l'angle au centre qui intercepte, sur le cercle trigonométrique, un arc de longueur $ 1 $.
De façon générale, la mesure en radians d'un angle est égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle trigonométrique.
Remarque
Comme le périmètre du cercle trigonométrique vaut $ 2\pi $, un tour complet correspond à $ 2\pi $ radians (soit $ 360° $), un demi-tour à $ \pi $ radians (soit $ 180° $).
Conversion degrés ↔ radians
Si $ \alpha_{\text{rad}} $ est la mesure en radians d'un angle et $ \alpha_{\text{deg}} $ sa mesure en degrés, alors :
Exemple
Convertir $ 60° $ et $ 45° $ en radians.
Pour $ 60° $ : $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{60\times\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3} $.
Pour $ 45° $ : $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{45\times\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4} $.
Lien avec la trigonométrie du collège
Les définitions du sinus et du cosinus vues au collège dans un triangle rectangle se retrouvent à partir du cercle trigonométrique. Si $ M $ est un point du cercle tel que l'angle $ \widehat{IOM}=\alpha $ (avec $ 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2} $), le triangle $ OHM $ (où $ H $ est le projeté de $ M $ sur $ (Ox) $) est rectangle en $ H $ et :
- $ \cos(\alpha)=\dfrac{OH}{OM}=OH $ (abscisse de $ M $)
- $ \sin(\alpha)=\dfrac{HM}{OM}=HM $ (ordonnée de $ M $)
2 - Enroulement de la droite et mesures d'un angle orienté
Enroulement et mesure d'un angle orienté
Soit $ I $ le point de coordonnées $ \left(1\,;0\right) $ et $ d $ la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par $ I $.
À tout réel $ x $ on associe le point $ N $ de la droite $ d $ d'ordonnée $ x $, puis le point $ M $ obtenu en « enroulant » la droite $ d $ sur le cercle trigonométrique.
On dit que $ x $ est une mesure en radians de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right) $ et que $ M $ est l'image du réel $ x $ sur le cercle trigonométrique.
Mesure en radians d'un angle orienté
Remarque
Une infinité de points de la droite $ d $ se superposent au même point $ M $ par enroulement (en faisant plusieurs tours).
Chaque angle possède donc une infinité de mesures qui diffèrent entre elles d'un multiple de $ 2\pi $. Si $ x $ est une mesure d'un angle, les autres mesures sont de la forme :
Mesure principale
Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, il existe une unique mesure appartenant à l'intervalle $ \left]-\pi\,;\pi\right] $.
Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle.
Exemple
Soit un angle dont une mesure est $ -\dfrac{5\pi}{2} $.
Comme $ -\dfrac{5\pi}{2}\notin\left]-\pi\,;\pi\right] $, ce n'est pas la mesure principale.
On écrit : $ -\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}-2\pi $.
Comme $ -\dfrac{\pi}{2}\in\left]-\pi\,;\pi\right] $, la mesure principale de cet angle est $ -\dfrac{\pi}{2} $.
Mesures d'angles remarquables à connaître
3 - Cosinus et sinus d'un nombre réel
Cosinus et sinus
Soit $ M $ le point du cercle trigonométrique image d'un réel $ x $.
On appelle :
- cosinus de $ x $, noté $ \cos(x) $, l'abscisse du point $ M $ ;
- sinus de $ x $, noté $ \sin(x) $, l'ordonnée du point $ M $.
Sinus et cosinus d'un nombre réel
Encadrement et identité fondamentale
Pour tout réel $ x $ :
- $ -1\leqslant\cos(x)\leqslant 1 $ et $ -1\leqslant\sin(x)\leqslant 1 $ ;
- $ \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 $ (identité fondamentale).
Remarque
La deuxième propriété est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué au triangle $ OHM $ : comme $ OM=1 $, on a $ OH^{2}+HM^{2}=OM^{2}=1 $, soit $ \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 $.
La notation $ \cos^{2}(x) $ est une écriture abrégée pour $ \left(\cos(x)\right)^{2} $.
Valeurs remarquables à connaître
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
Démonstration des valeurs remarquables
Les valeurs $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ se démontrent par le calcul, à partir du cercle trigonométrique et du théorème de Pythagore.
Cette démonstration (exigible au bac) est traitée dans l'exercice : [ROC] Démonstration des valeurs remarquables en trigonométrie.
Angles associés
Pour tout réel $ x $ :
- $ \cos(-x)=\cos(x) $ et $ \sin(-x)=-\sin(x) $ (symétrie par rapport à l'axe des abscisses)
- $ \cos(\pi-x)=-\cos(x) $ et $ \sin(\pi-x)=\sin(x) $ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)
- $ \cos(\pi+x)=-\cos(x) $ et $ \sin(\pi+x)=-\sin(x) $ (symétrie par rapport à l'origine)
Angles complémentaires
Pour tout réel $ x $ :
- $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x) $
- $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x) $
Angles $ x $, $ -x $ et $ \pi+x $
4 - Fonctions cosinus et sinus
Fonctions cosinus et sinus
La fonction cosinus est la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ qui, à tout réel $ x $, associe $ \cos(x) $.
La fonction sinus est la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ qui, à tout réel $ x $, associe $ \sin(x) $.
Parité
- La fonction cosinus est paire : pour tout $ x\in\mathbb{R} $, $ \cos(-x)=\cos(x) $. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La fonction sinus est impaire : pour tout $ x\in\mathbb{R} $, $ \sin(-x)=-\sin(x) $. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Périodicité
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $ 2\pi $ : pour tout $ x\in\mathbb{R} $,
Graphiquement, on obtient toute la courbe en répétant par translation le motif tracé sur un intervalle de longueur $ 2\pi $.
Courbes représentatives
Lecture graphique
- La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (parité).
- La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine (imparité).
- Chaque motif de longueur $ 2\pi $ se répète à l'identique par translation : c'est la périodicité.
- Les deux courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation horizontale de $ \dfrac{\pi}{2} $ : $ \cos\left(x\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) $.
5 - Équations trigonométriques
Équation cos(x) = cos(a)
Soit $ a $ un réel fixé. Les solutions de l'équation $ \cos(x)=\cos(a) $ sont les réels de la forme :
Exemple
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ \cos(x)=0 $.
On sait que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 $, donc l'équation est équivalente à $ \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $.
D'après le théorème précédent, les solutions sont :
Équation sin(x) = sin(a)
Soit $ a $ un réel fixé. Les solutions de l'équation $ \sin(x)=\sin(a) $ sont les réels de la forme :
Exemple
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ \sin(x)=\dfrac{1}{2} $.
On sait que $ \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} $, donc l'équation est équivalente à $ \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $.
D'après le théorème précédent, les solutions sont :
Les questions essentielles
1. Comment convertir un angle des degrés vers les radians (ou l'inverse) ?
Les mesures en degrés et en radians d'un même angle sont proportionnelles et vérifient $ \dfrac{\alpha_{\text{rad}}}{\pi}=\dfrac{\alpha_{\text{deg}}}{180} $. Il suffit d'isoler l'inconnue pour passer d'une unité à l'autre.
Voir la fiche méthode : Convertir un angle entre degrés et radians
2. Comment déterminer la mesure principale d'un angle ?
On ajoute ou on retranche $ 2\pi $ à la mesure donnée jusqu'à obtenir l'unique mesure appartenant à l'intervalle $ \left]-\pi\,;\pi\right] $.
Voir la fiche méthode : Déterminer la mesure principale d'un angle
3. Comment placer un réel sur le cercle trigonométrique et lire son cosinus et son sinus ?
On ramène le réel à sa mesure principale, on identifie le cadran, puis on place le point image en tournant depuis le point $ I $. L'abscisse donne le cosinus, l'ordonnée donne le sinus.
Voir la fiche méthode : Placer le point image d'un réel sur le cercle trigonométrique
4. Comment calculer le cosinus et le sinus d'un angle qui n'est pas dans le tableau des valeurs remarquables ?
On écrit l'angle sous la forme $ -a $, $ \pi-a $ ou $ \pi+a $ avec $ a $ remarquable, puis on applique les formules des angles associés pour retrouver les valeurs connues.
Voir la fiche méthode : Calculer cosinus et sinus à l'aide des angles associés
5. Comment calculer $ \cos(x) $ quand on connaît $ \sin(x) $ (ou l'inverse) ?
On utilise l'identité fondamentale $ \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 $, puis on choisit le bon signe en regardant le cadran du cercle trigonométrique dans lequel se trouve $ x $.
Voir la fiche méthode : Calculer cos(x) connaissant sin(x) (ou l'inverse)
6. Comment résoudre une équation $ \cos(x)=k $ ou $ \sin(x)=k $ ?
On cherche une valeur remarquable $ a $ telle que $ \cos(a)=k $ (ou $ \sin(a)=k $), puis on applique les formules $ \cos(x)=\cos(a) $ ou $ \sin(x)=\sin(a) $ qui donnent deux familles de solutions modulo $ 2\pi $.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation cos(x) = k ou sin(x) = k