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Première

facileExercice corrigé

Produit scalaire et quadrillage. Calcul d'angle.

Dans cet exercice, l'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.

Produit Scalaire et quadrillage

  1. À l'aide du quadrillage, calculez le produit scalaire \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} puis les normes \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert et \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert .

  2. En déduire la valeur exacte de \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) .
    Donner la valeur arrondie au degré de l'angle \left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) .

Corrigé

  1. Tout d'abord, traçons le projeté orthogonal H du point A sur la droite (CB)  :

    Produit Scalaire et quadrillage

    Comme l'angle \left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) est un angle aigu :

    \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =CB \times CH
    \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =6 \times 4=24.

    Par ailleurs, on a immédiatement :

    \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert =CB=6.

    Pour calculer la longueur du segment [CA] , on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H :

    AC{}^2 =CH{}^2 +HA{}^2 =4{}^2 +3{}^2
    \phantom{AC{}^2 }=16+9=25

    Donc :
    \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert =AC=\sqrt{25} = 5

  2. Pour calculer la valeur de \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) , on utilise la formule donnant le produit scalaire à l'aide du cosinus :

    \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert \times \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)

    On en déduit :

    \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) = \frac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} }{ \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert }

    \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) =\frac{24}{6 \times 5} =0,8.

    À la calculatrice (touche « \cos{}^{ -1} » ou « Arccos » ), on trouve que l'angle \left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) vaut approximativement 37° au degré près.

    Remarque : il était aussi possible et plus simple, ici, de calculer une valeur approchée de l'angle \left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) à l'aide des formules trigonométriques vues en classe de troisième dans le triangle rectangle AHC.

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Dans ce chapitre...

Cours

  • Produit scalaire

Exercices

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Méthodes

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Quiz

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