Exercice corrigéDans cet exercice, l'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.
À l'aide du quadrillage, calculez le produit scalaire \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} puis les normes \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert et \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert .
En déduire la valeur exacte de \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) .
Donner la valeur arrondie au degré de l'angle \left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) .
Corrigé
Tout d'abord, traçons le projeté orthogonal H du point A sur la droite (CB) :
Comme l'angle \left( \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CA} \right) est un angle aigu :
\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =CB \times CH
\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} =6 \times 4=24.Par ailleurs, on a immédiatement :
\left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert =CB=6.
Pour calculer la longueur du segment [CA] , on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H :
AC{}^2 =CH{}^2 +HA{}^2 =4{}^2 +3{}^2
\phantom{AC{}^2 }=16+9=25Donc :
\left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert =AC=\sqrt{25} = 5Pour calculer la valeur de \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) , on utilise la formule donnant le produit scalaire à l'aide du cosinus :
\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert \times \cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)
On en déduit :
\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) = \frac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} }{ \left\Vert \overrightarrow{CB} \right\Vert \times \left\Vert \overrightarrow{CA} \right\Vert }
\cos\left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) =\frac{24}{6 \times 5} =0,8.
À la calculatrice (touche « \cos{}^{ -1} » ou « Arccos » ), on trouve que l'angle \left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) vaut approximativement 37° au degré près.
Remarque : il était aussi possible et plus simple, ici, de calculer une valeur approchée de l'angle \left( \overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right) à l'aide des formules trigonométriques vues en classe de troisième dans le triangle rectangle AHC.
