Exercice corrigéDans le plan muni d’un repère orthonormé \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) on considère les points:
A \left(-1 ; 2\right) , B \left(0 ; 5\right) et C \left(2 ; 1\right)
- Montrer que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
- Calculer le produit scalaire \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} et les normes ||\overrightarrow{CA}|| et ||\overrightarrow{CB}||
En déduire la mesure de l’angle \widehat{ACB}. - Que peut-on en conclure pour le triangle ABC ?
Corrigé
- \overrightarrow{AB} \left(1 ; 3\right) et \overrightarrow{AC} \left(3 ; -1\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times 3+3\times \left(-1\right)=0
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont donc orthogonaux. - \overrightarrow{CA} \left(-3 ; 1\right) et \overrightarrow{CB} \left(-2 ; 4\right)
\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left(-3\right)\times \left(-2\right)+1\times 4=10
||\overrightarrow{CA}||=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} et ||\overrightarrow{CB}||=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
Comme \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||\times \cos\left(\widehat{ACB}\right) on en déduit :
\cos\left(\widehat{ACB}\right) = \frac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||} = \frac{10}{2\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
L’angle \widehat{ACB} mesure donc 45° - L’angle \widehat{ABC} mesure 180-90-45=45° également, donc le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
