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Première

facileExercice corrigé

Produit scalaire - Calcul d'angle

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) on considère les points:
A \left(-1 ; 2\right) , B \left(0 ; 5\right) et C \left(2 ; 1\right)

  1. Montrer que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
  2. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} et les normes ||\overrightarrow{CA}|| et ||\overrightarrow{CB}||
    En déduire la mesure de l'angle \widehat{ACB}.
  3. Que peut-on en conclure pour le triangle ABC ?

Corrigé

  1. \overrightarrow{AB} \left(1 ; 3\right) et \overrightarrow{AC} \left(3 ; -1\right)
    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times 3+3\times \left(-1\right)=0
    Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont donc orthogonaux.
  2. \overrightarrow{CA} \left(-3 ; 1\right) et \overrightarrow{CB} \left(-2 ; 4\right)
    \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left(-3\right)\times \left(-2\right)+1\times 4=10
    ||\overrightarrow{CA}||=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} et ||\overrightarrow{CB}||=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
    Comme \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||\times \cos\left(\widehat{ACB}\right) on en déduit :
    \cos\left(\widehat{ACB}\right) = \frac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}||\times ||\overrightarrow{CB}||} = \frac{10}{2\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
    L'angle \widehat{ACB} mesure donc 45°
  3. L'angle \widehat{ABC} mesure 180-90-45=45° également, donc le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
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Dans ce chapitre...

Cours

  • Produit scalaire

Exercices

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Quiz

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