Exercice 4   (5 points)

Commun à tous les candidats

On s'intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

A . Etude de la zone 1

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma =30$. La courbe de la densité de probabilité associée à $X$ est représentée ci-dessous.

1. Par lecture graphique, donner la valeur de $\mu$.

2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $10^{ - 2}$, d'avoir un

   poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

   On pêche un poisson de l'espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $10^{ - 2}$, de pêcher un poisson adulte.

4. On considère un nombre $k$ strictement plus grand que la valeur moyenne $\mu$.

   Est-il vrai que $P\left(X < k\right) < 0,5$ ? Justifier.

B . Etude de la zone 2

1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

   1. Calculer la fréquence $f$ de poissons malades dans l'échantillon.

   2. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion $p$ de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.

2. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l'espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu ^{\prime} =205$ et d'écart type $\sigma ^{\prime}=40$.

   En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type $\sigma =30$, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$. Justifier la réponse.