[ROC] Espérance mathématique d'une loi exponentielle
L'objectif de cet exercice est de démontrer que l'espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ est λ1.
Soient a et b deux réels quelconques et λ un réel strictement positif. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :
f(x)=(ax+b)e−λx.
Calculer f′(x).
Montrer qu'il existe une valeur de a et une valeur de b pour lesquelles, pour tout réel x⩾0, f′(x)=xe−λx et déterminer ces valeurs.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue X qui suit une loi de densité f sur l'intervalle [a;b] est E(X)=∫abxf(x)dx.
En particulier, dans le cas de la loi exponentielle de paramètre λ>0 :
E(X)=∫0+∞λxe−λxdx=t→+∞lim∫0tλxe−λxdx.
Calculer, en fonction de t, I(t)=∫0tλxe−λxdx.
En déduire que, pour la loi exponentielle de paramètre λ :
E(X)=λ1.
Posons u(x)=ax+b et v(x)=e−λx ; alors :
u′(x)=a et v′(x)=−λe−λx.
Par conséquent :
f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
f′(x)=ae−λx−λ(ax+b)e−λx
f′(x)=(−λax+a−λb)e−λx.
f′(x)=xe−λx, pour tout réel x⩾0, si et seulement si −λax+a−λb est identique à x, c'est à dire si et seulement si le couple (a ; b) est solution du système :
{−λa=1a−λb=0
La première équation donne immédiatement a=−λ1 ; puis, en remplaçant a dans la seconde, on obtient b=−λ21.
Finalement, la fonction f définie par :
f(x)=(−λ1x−λ21)e−λx
a pour dérivée la fonction x⟼xe−λx.
D'après la question précédente, la fonction x⟼(−λ1x−λ21)e−λx est une primitive sur [0 ; +∞[ de la fonction x⟼xe−λx.
On en déduit que :
I(t)=∫0tλxe−λxdx
I(t)=λ∫0txe−λxdx
I(t)=λ[(−λ1x−λ21)e−λx]0t
I(t)=λ(−λ1t−λ21)e−λt−λ(−λ21)e−λ0
I(t)=−te−λt−λ1e−λt+λ1.
Lorsque t tend vers +∞, comme λ est strictement positif −λt tend vers −∞.
Alors :
t→+∞lime−λt=0 (par composition)
t→+∞limte−λt=0 (croissance comparée)
donc, par somme :
t→+∞lim−te−λt−λ1e−λt+λ1=λ1.
On a donc bien :
E(X)=λ1.