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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilites : Loi uniforme

Soit XX une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [1;5]\left[1;5\right]

  1. Calculer p(X<2)p\left(X < 2\right), p(2⩽X⩽4)p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right), p(X>3)p\left(X > 3\right).

  2. Quelle est l'espérance mathématique de XX ?

  3. Quelle est la probabilité que XX soit supérieur à 33 sachant que XX est supérieur à 22.

Corrigé

  1. p(X<2)=p(1<X<2)=2−15−1=14p\left(X < 2\right)=p\left(1 < X < 2\right)=\frac{2 - 1}{5 - 1}=\frac{1}{4}

    p(2⩽X⩽4)=4−25−1=12p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)=\frac{4 - 2}{5 - 1}=\frac{1}{2}

    p(X>3)=p(3<X<5)=5−35−1=12p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5 - 3}{5 - 1}=\frac{1}{2}

  2. E(X)=1+52=3E\left(X\right)=\frac{1+5}{2}=3

  3. La probabilité cherchée est :

    pX>2(X>3)=p((X>2)∩(X>3))p(X>2)p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right)\right)}{p\left(X > 2\right)}

    Si XXest supérieur à 33, il est obligatoirement supérieur à 22 donc (X>2)∩(X>3)=(X>3)\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right) = \left(X > 3\right)

    pX>2(X>3)=p(X>3)p(X>2)p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(X > 3\right)}{p\left(X > 2\right)}

    p(X>3)=p(3<X<5)=5−35−1=12p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5 - 3}{5 - 1}=\frac{1}{2} et p(X>2)=p(2<X<5)=5−25−1=34p\left(X > 2\right)=p\left(2 < X < 5\right)=\frac{5 - 2}{5 - 1}=\frac{3}{4}

    Par conséquent :

    pX>2(X>3)=1/23/4=12×43=23p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{1/2}{3/4}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}

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