Exercice 2   (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s'implanter.

Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90% du marché et l'entreprise B possède le reste du marché.

Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B.

On observe à partir de 2010 que chaque année, 15% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B, et 10%

des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise A pour l'année $2010+n$, et $b_{n}$, la probabilité pour que son fournisseur d'accès en $2010+n$ soit l'entreprise B.

On note $P_{n} =\left( a_{n} \ \ b_{n} \right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010+n$ et on a ainsi $a_{0}=0,9$ et $b_{0}=0,1$.

Partie A

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

2. 1. Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.

   2. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ $\left( 0,61 \ \ 0,39 \right)$.

   3. Déterminer l'état stable $P =\left( a \ \ b \right)$ de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat

Partie B

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l'entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.

À la fin de la journée l'entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540€

On cherche le nombre $s$ de stylos et le nombre $c$ de porte-clés distribués.

1. Écrire un système traduisant cette situation.

2. Montrer que le système précédent est équivalent à $R \times X=T$ où $R =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0,8 & 1,2 \end{pmatrix}$ et $X$ et $T$ sont des matrices que l'on précisera.

3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.