Lois continues - Bac ES/L Centres étrangers 2013

Exercice 4 (4 points)

Commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

Paul se connecte sur le site. La durée $D$ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[20 ; 120\right]$ .
1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.
2. Calculer l'espérance mathématique de $D$ . Interpréter ce résultat
L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée $J$ (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr N \left(120, 400\right)$ .
1. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $J$ .
2. Montrer l'équivalence : $90 < J < 180$ $\Leftrightarrow - 1,5 < \frac{J - 120}{20} < 3$
3. On définit la variable aléatoire $X$ par $X =\frac{J - 120}{20}$ .
  
  Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ .
4. Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près